讲解笔记

第18讲非线性系统:它凭什么要单开一章

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0. 开场:这一讲在整门课里的位置

前面七章,不管是连续系统(第2到第6章)还是离散系统(第7章),讲的全是线性系统。第8章换了一个物种:非线性系统。它不是"线性系统的加强版",而是"规则不一样的另一套游戏"。

本讲不做题,只干两件事: 1. 讲清楚非线性系统到底哪里不一样(四大特性),以及为什么老办法(传递函数、频率特性、劳斯判据)全部失效; 2. 讲清楚本章两把分析工具的思想和适用范围:描述函数法和相平面法。

下一讲(第19讲)才用例题把这两把工具练熟。

考试地位(据 01_结构化/考点分析/考点分析_p003.md 的第八章考纲条目): "掌握非线性系统的基本概念;掌握典型非线性环节及其对控制系统的影响;掌握利用相平面法分析非线性系统的基本思想及其应用;掌握描述函数分析法的前提和条件;掌握利用描述函数法分析非线性系统的方法。" 据 26北方工业大学专业课考点分析_p001.md,"非线性系统分析"是七道大题方向之一,选择题也常考;p009.md 记录的真题题型是: "非线性判断是否存在自振、稳定区域和不稳定区特定点的稳定性(直接给出G(jw)和非倒描述函数的图像)",并高亮标注"非线性求特定点的稳定性和振幅"。 (注:原件 OCR 文本写作"非倒描述函数",上面引号内保留原文;按教材标准术语应为"负倒描述函数",即 $-1/N(A)$,本讲正文一律用"负倒描述函数"。) ——也就是说,本校真题的非线性大题几乎就是"给你两条曲线的图,让你读图",这决定了本讲后半段(负倒描述函数曲线怎么读)是最该下功夫的地方。

1. 【补前置】先把"线性"这个词说清楚

你学了七章"线性系统",但可能从没有人告诉你线性到底指什么。

线性 = 满足叠加原理。 叠加原理有两条:

可加性:输入 $x_1$ 单独作用时输出是 $y_1$,输入 $x_2$ 单独作用时输出是 $y_2$,那么两个一起输入时输出必须正好是 $y_1+y_2$。
齐次性:输入放大 2 倍,输出必须也正好放大 2 倍,一分不多一分不少。

大白话:线性系统是"讲道理、按比例、可以拆开算"的系统。

为什么前七章的所有工具都建立在这上面? 因为: - 传递函数的定义本身就要求"输出的拉氏变换 ÷ 输入的拉氏变换 = 一个只跟系统有关、跟输入大小无关的比值"。若输入放大 2 倍输出不是 2 倍,这个比值就随输入变了,传递函数就不存在了。 - 结构图化简、叠加求稳态误差(误差 = 各输入分别引起的误差之和)、频率特性、根轨迹、劳斯判据——全部依赖叠加。

非线性系统 = 不满足叠加原理的系统。 数学上,它的数学模型是非线性微分方程。

【补前置】什么叫非线性微分方程? 微分方程就是"含有未知函数的导数的方程",例如 $T\dot c(t)+c(t)=r(t)$,这里 $\dot c$ 表示 $c$ 对时间的一阶导数(即 $c$ 变化的快慢,速度)。方程里未知函数 $c$ 及其各阶导数只以一次方、且不被套进别的函数里出现,叫线性微分方程; 一旦出现 $c^2$、$c\dot c$、$\sin c$、$|c|$、$\sqrt c$ 这类,就叫非线性微分方程。

【你可能会以为】"非线性 = 系统很复杂、阶数很高"。 但其实非线性和阶数没关系。$\dot x = -x^3$ 只有一阶,却是彻头彻尾的非线性;而一个 10 阶的线性系统仍然是线性的。因为判据只有一条:叠加原理成不成立。

【你可能会以为】"现实里的系统大多是线性的,非线性是特例"。 但其实恰恰反过来。据PPT第8章幻灯片2:"实际中完全线性的系统是不存在的"。放大器会饱和(电压顶到电源上限就不再涨)、电机有死区(电压太小根本不转)、齿轮有间隙、任何机械有摩擦——非线性才是常态,线性是我们为了能算而做的近似。之所以前七章能一路线性下来,是因为大部分系统"在工作点附近的小范围内"近似线性(见下面第 3 节)。

2. 非线性系统的四大特性(考试常出选择题和简答题)

这一节是本讲的第一个核心。老师在课上把它作为"为什么必须另起炉灶"的理由讲。以下四条与PPT幻灯片4至7内容一致(表述做了展开和口语化)。

特性一:稳定性不再是系统的"固有属性"

线性系统的情况(回忆第3章):线性系统稳不稳定,只看闭环特征方程的根在不在 s 左半平面。特征方程只由系统结构和参数决定,所以——结构参数一定,稳不稳就定了,跟你给多大的输入、从什么初始状态出发,统统无关。这就叫"稳定性是线性系统的固有属性"。

【补前置】初始条件是什么?就是"系统在 $t=0$ 这一刻的状态",比如小球初始位置在哪、初速度多大;对电路就是电容上原本存了多少电压。 平衡状态(平衡工作点)是什么?就是"系统一旦待在这个状态,不再受外力,它就永远不动了"的状态。数学上:输出及其各阶导数全为零的点(速度为零、加速度也为零 ⇒ 不再变化)。

非线性系统的情况:稳定性除了跟结构、参数有关,还跟初始条件和输入信号的大小有关;而且系统可能有多个平衡状态,有的稳定有的不稳定。

【难点】"稳定性依赖初始条件"到底难在哪? 难在它直接违背你刚花几个月建立的直觉——"稳定 = 特征根在左半平面 = 一个是非判断"。零基础常见的错误反应是"那到底稳不稳啊?",觉得这是模糊不清的答案。 正确理解:非线性系统里"稳定"这个词的主语变了。线性系统里主语是"系统";非线性系统里主语是"某个平衡点 + 某个初始范围"。所以正确的说法只能是:"在某某范围内,系统是稳定的;超出这个范围就发散了"。生活类比:一个碗底放着小球,小球轻轻推一下会滚回碗底(稳);但你使劲一推,它飞出碗沿就再也回不来了(不稳)。同一个系统,推的力度(初始条件)决定命运。线性系统则像一个无限大的碗或无限大的山包,推多大力结果性质都一样。

考试落点:凡是问"非线性系统是否稳定",标准答法一定带范围限定;笼统回答"稳定"或"不稳定"就是错的。

特性二:会产生自激振荡(自振)

【补前置】振荡就是输出来回摆动;等幅振荡是摆动幅度既不增大也不减小,一直保持同一个幅度。

线性系统:据PPT幻灯片6,"线性系统仅在临界稳定的情况下,才能产生周期运动,一旦受到扰动,原来周期运动便不具有稳定性"。说人话:线性系统要么发散(越摆越大),要么收敛(越摆越小直到停),等幅振荡只出现在特征根恰好落在虚轴上的临界情况——那是一个"针尖上的平衡",参数稍微飘一点就掉向发散或收敛,维持不住。

非线性系统:据PPT幻灯片6,"非线性系统在没有外界周期变化信号的作用下,系统就能产生具有固定振幅和频率的稳定周期运动,称为自振(自激振荡),其振幅和频率由系统本身的特性所决定"。

【难点】"稳定的周期运动"这个说法本身就烧脑。 难在"稳定"和"振荡"听起来矛盾。 正确理解:这里的"稳定"不是指"输出趋于常数",而是指"这个振荡本身抗干扰"——你把幅度稍微推大一点,它自己会缩回来;推小一点,它自己会涨回去,最终锁定在那个特定振幅上。【补前置】吸引子:指系统运动最终会被"吸"过去、并且被推离后还会自己回来的那个状态(可以是一个点,也可以是一整圈周期运动)。这里说自振是吸引子,意思就是"幅度偏大偏小都会自动回到它"。类比:老式机械钟的钟摆——摆幅大了会自己减小、小了发条又把它补回来,始终摆同样大小、不快不慢(擒纵机构就是钟里那个"齿轮转一格、放一点发条能量给摆"的部件,它每次只在摆经过中点时踢一下,踢的量固定,这个"固定量"就是非线性)。再如空调压缩机的启停循环:温度高了开、低了关,来回一个固定周期。它们都是靠系统自身非线性维持的固定幅度周期运动,不需要外面给它一个正弦信号。

PPT幻灯片6 还补了一句实用判断:"通常,不希望出现自激振荡,因为消耗大;但有时高频、小幅度的振动可以用来克服摩擦、间隙等非线性因素给系统带来的不利影响"。 ——所以自振不是绝对的坏事,考试若问"自振都要消除吗",答案是否定的。

特性三:不能用叠加原理

这是特性一二的数学根源。因为数学模型是非线性微分方程,叠加原理失效 ⇒ 传递函数、结构图化简、频率特性、根轨迹、劳斯判据全部不能直接用。这也解释了为什么第8章要发明全新的两套方法。

特性四:正弦响应会畸变(含高次谐波)

【补前置】谐波是什么? 一个周期为 $T$、频率为 $\omega$ 的周期信号,不管形状多怪(方波、三角波、削顶的正弦),都可以拆成一堆纯正弦波之和:频率为 $\omega$ 的那一项叫基波(一次谐波),频率为 $2\omega,3\omega,\dots$ 的叫二次、三次……高次谐波。这个拆解叫傅里叶级数展开。类比:一个乐器发的"do",听起来是一个音,其实是基频加一堆泛音叠出来的音色。

线性系统(第5章频域法的基石):稳定的线性系统输入一个正弦,稳态输出一定是同频率的正弦,只是幅值被放大/缩小了、相位被移动了。形状不变,这叫"线性系统是单值响应、不产生新频率"。这正是频率特性 $G(j\omega)$ 能被定义出来的原因。

非线性系统:输入正弦,输出波形会畸变——比如放大器饱和会把正弦的顶削平,削平后的波形就不再是纯正弦了。据PPT幻灯片7:"在正弦信号响应包含有基频和倍频等各次谐波分量",且"非线性系统为多值响应,在某一频率处对应几个幅值"。

【难点】这一条是理解描述函数法的钥匙。既然非线性环节的输出不是纯正弦,那"输出/输入"这个比值就没法像 $G(j\omega)$ 那样定义了(分子分母频率都不一样,怎么比?)。描述函数法的全部机灵劲就在于:只留基波,把高次谐波扔掉,这样输出又变回"同频率正弦"了,比值又能定义了。至于扔掉合不合理,靠后面第 5 节的四个前提条件来保证。

3. 非本质非线性 vs 本质非线性:哪些能糊弄过去

3.1 小偏差线性化(非本质非线性)

你在第2章其实见过这个词(据 26北方工业大学专业课考点分析_p002.md 第二章考纲:"掌握非线性系统小偏差线性化的基本原理")。这里把它讲透。

思想:一条弯曲的曲线,如果你只在某一点附近很小的一段范围内看它,它几乎就是一条直线。类比:地球是圆的,但你家门口那 10 米路可以当平的用。

做法(泰勒级数展开)。【补前置】泰勒级数是什么?它是"用多项式去逼近一条曲线"的办法:在某点 $x_e$ 附近,把函数写成 $$y=f(x)=f(x_e)+a(x-x_e)+b(x-x_e)^2+\cdots$$ - 这式子在说什么:任何一条(足够光滑的)曲线,在 $x_e$ 附近都可以写成"该点的值 + 一次修正 + 二次修正 + ……"。 - 每个符号:$x_e$ 是你选的展开点(这里取平衡工作点,即系统正常工作时待着的那个点);$f(x_e)=y_e$ 是该点的输出值;$a=f'(x_e)$ 是函数在该点的一阶导数,几何意义是该点切线的斜率,物理意义是"输入变一点点,输出跟着变多少"的灵敏度;$b=f''(x_e)/2!$ 是二阶导数除以 2,刻画曲线弯的程度。 - 怎么用:只保留常数项和一次项,把二次及以上全扔掉,得到 $$y-y_e=a\,(x-x_e)$$

这式子在说什么:输出相对平衡点的偏离量,正比于输入相对平衡点的偏离量。这就是一个线性关系了。
符号:$y-y_e$ 叫输出增量,$x-x_e$ 叫输入增量,$a$ 是比例系数(就是那个切线斜率)。
怎么用:把变量换成增量后,原来的非线性方程就变成了线性方程,前七章的全套工具立刻可用。这就叫增量方程。

能这么干的非线性,叫"非本质非线性"(课上原话为"非本质的非线性",PPT幻灯片2 的说法是"大多数控制系统可以用小偏差法将非线性特性线性化,并用线性理论进行研究")。例:$y=\sqrt x$ 这类光滑弯曲的特性,在工作点附近很小范围内失真不严重,可线性化。

【难点】为什么"扔掉二次项"是合法的? 不是因为二次项"小",而是因为 $(x-x_e)$ 本身很小时,$(x-x_e)^2$ 是小量的平方,比一次项小一个数量级。偏差 0.01,平方就是 0.0001。 所以这个近似的有效前提是"偏离工作点很小"。偏离一大,近似立刻崩,这就是"小偏差"三个字的分量。考试若问"线性化的条件",答"在平衡工作点附近的小范围内,且特性曲线在该点光滑(可导)"。

3.2 本质非线性

有些非线性根本不能线性化,它们叫本质非线性。判据的直觉版:特性曲线在关键点上不光滑(有折角、有跳变、有多值),导数不存在,泰勒展开无从谈起。

据PPT幻灯片2:"本章研究的是不可线性化的本质非线性系统"。据PPT幻灯片9至14,典型的本质非线性环节有:

理想继电特性:$x>0$ 时 $y=M$,$x<0$ 时 $y=-M$。
这式子在说什么:输出只有两档,输入一变正就跳到最大正值,一变负就跳到最大负值,中间没有过渡。
每个符号:$x$ 是继电器的输入信号(比如加在线圈上的误差电压);$y$ 是它的输出;$M$ 是继电器输出的饱和幅值(继电器一旦吸合,触点接通的就是固定的那个电压/电流,大小与输入多大无关,所以是个常数)。
怎么用:后面 5.4 节求它的描述函数时,$M$ 就是这个常数,直接进积分。
在 $x=0$ 处直接从 $-M$ 跳到 $+M$,是跳变,没有导数。举例:继电器、接触器、可控硅。PPT幻灯片9原话:"继电器特性往往会造成系统自激振荡,不稳定"。
死区(不灵敏区):$|x|\le\Delta$ 时 $y=0$;$x>\Delta$ 时 $y=k_0(x-\Delta)$($x<-\Delta$ 时对称地 $y=k_0(x+\Delta)$)。
这式子在说什么:输入的绝对值小于某个门槛时输出干脆是零(系统毫无反应);超过门槛后才开始按比例输出,而且是从门槛处才起算。
每个符号:$\Delta$ 是死区半宽,即"输入必须大到多少,系统才肯动"的门槛值(单位与输入相同,比如 0.2V);$k_0$ 是死区外那段直线的斜率,也就是系统真正工作时的放大倍数;$x-\Delta$ 是"超出门槛的那部分输入"——注意输出只对超出的部分起反应,所以特性线是从 $(\Delta,0)$ 出发的斜线,不过原点延长线。
怎么用:来源是测量元件、放大元件、执行机构的不灵敏。影响:使系统存在稳态误差(误差小到 $\Delta$ 以内系统就不再纠正了,这部分误差永远消不掉)。
饱和:输入小时按 $V_0=KV_i$ 线性放大,输入大到一定程度后输出顶死不再增大(如最高只到电源电压 12V)。
这式子在说什么:在没顶到上限之前,输出就是输入乘一个固定倍数,是标准的线性放大。
每个符号:$V_i$ 是输入电压(下标 i = input),$V_0$ 是输出电压(下标 o = output),$K$ 是线性段的放大倍数(斜率);超过门限后 $V_0$ 被钉在常数上,与 $V_i$ 再无关系。
怎么用:判断某个输入幅值下环节是否进入饱和(比较输入与门限),决定用哪一段表达式;5.4 节求饱和描述函数正是按"中间被削平、两头还是正弦"分段积分的。
影响(PPT幻灯片13原文三条):"1)增大了系统的稳态误差,降低了控制精度,这相当于死区的影响;2)使系统过渡过程的振荡加剧,甚至使系统变为不稳定;3)使系统的波形失真"。
间隙(回环):齿轮的空程,输出跟输入的关系走一个回环,同一个输入对应两个输出(多值),所以连"函数"都算不上,更别说求导。描述它需要两个参数:$K$ 是回环两条斜边的斜率(啮合上以后的传动比),$b$ 是间隙半宽(输入反向后要空走多少才重新咬合上),这两个符号 5.3 节的公式里还会用到。
摩擦:静摩擦力 $F_1$(物体还没动起来时,要克服的那个最大阻力)大于动摩擦力 $F_2$(已经在动之后受到的阻力)。静态上相当于引入死区,增大稳态误差、降低精度;动态上造成低速运动的不平滑(爬行)。

【补前置】等效增益是什么?据PPT幻灯片8:非线性特性写成 $y=f(x)$,定义 $$k=\frac{y}{x}=\frac{f(x)}{x}$$ - 这式子在说什么:强行把非线性环节看成一个"放大倍数"。 - 符号:$x$ 输入,$y$ 输出,$k$ 就是此刻的放大倍数。 - 关键:这个 $k$ 不是常数,它随输入大小而变。PPT原话:"为变增益,可将非线性特性视为变增益比例环节"。这个"变增益"的观点非常重要——它是后面把奈氏判据推广到非线性系统的思想桥梁(见第 6 节)。

【你可能会以为】"死区、饱和这些看起来只是小毛病,不至于影响稳定性"。 但其实它们能让一个线性设计上完全稳定的系统振荡起来。因为从等效增益的角度看,非线性环节相当于一个会自己乱变的开环增益;而你在第4、5章学过,开环增益 $K$ 变大到临界值系统就会临界稳定并等幅振荡。 PPT幻灯片10 就给了这样一个例子,它是理解自振的原型,下面拆成四步,每个符号就地解释(PPT 只列了结果,推导过程与符号说明按教材补出)。

背景设定:线性部分 $G(s)=\dfrac{K^*}{s(s+2)(s+3)}$,前面串一个理想继电特性的非线性环节(输出只在 $+M$ 与 $-M$ 之间跳),整体是单位负反馈。 - $K^*$ 叫根轨迹增益:就是把传递函数写成"分子分母都是 $(s+p)$ 这种一次因式连乘"的形式时,分子上的那个常数。它跟你第5章常用的开环增益 $K$ 只差一个常数倍(此处 $K=K^*/(2\times3)=K^*/6$),第4章画根轨迹时用的就是它。 - $M$ 是继电器输出的幅值(见上面理想继电特性那条):输出被钉死在 $\pm M$,不管输入多大。

第一步:30 是怎么来的(临界稳定条件)。 把非线性环节当成一个增益 $k$(等效增益),开环传递函数就是 $\dfrac{kK^*}{s(s+2)(s+3)}$,闭环特征方程为 $$s(s+2)(s+3)+kK^*=0\quad\Longrightarrow\quad s^3+5s^2+6s+kK^*=0$$ 对三阶方程 $s^3+a_1s^2+a_2s+a_3=0$,劳斯判据(第3章学过)的稳定条件是各系数为正且 $a_1a_2>a_3$。这里 $a_1=5$、$a_2=6$、$a_3=kK^*$,于是 $$kK^*<5\times6=30$$ $kK^*=30$ 就是临界稳定(等幅振荡)的分界值——30 这个数不是天上掉的,是 $5\times6$ 算出来的。

第二步:$x_1$ 是什么。 把等效增益的定义 $k=\dfrac{y}{x}=\dfrac{M}{x}$ 代进去(继电器输出恒为 $M$,输入幅值为 $x$)。令它恰好取到临界值,即 $kK^*=30$,记此时对应的输入幅值为 $x_1$: $$k=\frac{M}{x_1}\ \Longrightarrow\ M=kx_1\ \Longrightarrow\ \frac{M}{x_1}K^*=30\ \Longrightarrow\ x_1=\frac{K^*M}{30}$$ 所以 $x_1$ 的含义是:"使等效增益恰好等于临界值"的那个输入幅值。PPT 上的"由 $M=kx_1$ 得 $x_1$",做的就是从 $k=M/x$ 反解 $x$ 这一步。

第三步:幅值一偏离 $x_1$ 会怎样。 因为 $k=M/x$ 与输入幅值成反比: - 当 $x(t)>x_1$(摆得比临界幅值大)⇒ $k<\dfrac{30}{K^*}$ ⇒ $kK^*<30$ ⇒ 系统此刻是稳定的 ⇒ 振幅衰减,往回缩; - 当 $x(t)<x_1$(摆得比临界幅值小)⇒ $k>\dfrac{30}{K^*}$ ⇒ $kK^*>30$ ⇒ 系统此刻不稳定 ⇒ 振幅增长,往外涨。

第四步:结论。 两头都往 $x_1$ 收 ⇒ 幅值被锁在 $x_1$ 附近来回摆,PPT 的说法是"使系统产生振荡现象"。 这正是自振的物理机理:幅度大了增益自动降下来(往稳定跑),幅度小了增益自动升上去(往发散跑),两头一夹,锁定在某个幅度上永远摆下去。这四步值得反复看,它是理解第 6 节"自振点为什么稳定"的原型——第 6 节的扰动判别法,讲的是同一件事的频域版本。

4. 两把工具的分工(先看地图再进门)

据PPT幻灯片15,分析非线性系统有三条路:(1)相平面法 (2)描述函数法 (3)逆系统法。本课程只讲前两个(逆系统法不在851考纲,PPT也未展开,故不展开)。

	相平面法	描述函数法
属于哪种方法的推广	时域分析法(第3章)的推广	频域分析法(第5章)的推广
适用范围	只能一阶、二阶系统(线性非线性都行)	阶次不限,但要求能拆成"非线性环节 + 线性环节"串联,且满足四个条件
能回答什么	全面:稳定性、运动形式、平衡位置、初始条件影响	主要回答:稳不稳、有没有自振、自振的振幅和频率
精度	解析法可得精确相轨迹;图解法是近似	本身就是近似方法(只留基波)
考试频率	会考,但形式有限	老师说"考得越来越多";p009.md 记录的本校真题正是这一类

老师原话大意(要点转述):相平面法只能对二阶及以下系统作全面分析;高阶系统若要讨论稳定性、会不会自振、自振幅值多大,用描述函数法。

5. 描述函数法(一):描述函数是什么

5.1 它想干的事

一句话:把第5章的频率特性 $G(j\omega)$ 硬搬到非线性环节上。

【补前置】回忆频率特性:线性环节输入 $A\sin\omega t$,稳态输出是同频率正弦 $B\sin(\omega t+\varphi)$,定义"输出稳态分量与输入正弦的复数比"就是 $G(j\omega)$,它的模是幅值放大比,幅角是相位移。非线性环节的输出不是纯正弦(特性四),这个比值定义不了。描述函数的做法:只拿输出里的基波去比。

5.2 定义与公式(逐符号拆)

设非线性环节输入 $x(t)=A\sin\omega t$($A$ 是输入正弦的振幅,$\omega$ 是角频率)。一般情况下输出 $y(t)$ 是周期函数,展成傅里叶级数(据PPT幻灯片20): $$y(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_n\cos n\omega t+B_n\sin n\omega t\right)$$

这式子在说什么:把形状怪异的周期输出,拆成"直流分量 + 各次谐波(正弦和余弦两份)之和"。
符号:$A_0$ 是直流分量(整个波形的平均值,相当于波形整体上下偏移了多少);$A_n$ 是第 $n$ 次余弦分量的系数,$B_n$ 是第 $n$ 次正弦分量的系数;$n=1$ 那一项就是基波。
系数怎么算(PPT幻灯片20): $$A_0=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}y(t)\,d(\omega t),\quad A_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}y(t)\cos n\omega t\,d(\omega t),\quad B_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}y(t)\sin n\omega t\,d(\omega t)$$

【补前置】积分在这里是干什么的? $\int_0^{2\pi}y\cos n\omega t\,d(\omega t)$ 可以理解成"把 $y$ 这个波形和一个标准余弦波逐点相乘再累加"。如果 $y$ 里含有这个频率的成分,乘出来的结果会同号累积成一个大数;不含的话正负抵消成零。所以积分在这里的作用是"筛出 $y$ 里含有多少这个频率的成分",像收音机调台。课上补充的一点(要点转述):积分上下限从 $0$ 到 $2\pi$、从 $-\pi$ 到 $\pi$、从 $2\pi$ 到 $4\pi$ 都可以,只要上下限之差是一个周期即可。这个自由度在利用对称性化简时很有用(见 5.3)。

描述函数的定义(据PPT幻灯片23):"正弦输入信号作用下,输出信号的一次谐波和输入信号的复数比",记作 $N(A,\omega)$;当非线性环节中不包含储能元件时,描述函数只是输入幅值 $A$ 的函数,记作 $N(A)$,"相当于一个可变增益的放大倍数"。

【补前置】储能元件指电容、电感、弹簧、质量块这类能把能量存起来再放出来的元件。它们的存在会让响应跟频率有关(容抗感抗随频率变);纯粹的死区、饱和、继电器特性里没有储能元件,所以它们的描述函数与 $\omega$ 无关,只跟输入幅值 $A$ 有关。851考的典型非线性(饱和、死区、继电、间隙)描述函数都只是 $A$ 的函数,这是好消息。

保留基波后 $y(t)\approx y_1(t)=A_1\cos\omega t+B_1\sin\omega t=Y_1\sin(\omega t+\varphi_1)$,其中(PPT幻灯片22) $$Y_1=\sqrt{A_1^2+B_1^2},\qquad \varphi_1=\arctan\frac{A_1}{B_1}$$

这式子在说什么:把"一份余弦 + 一份正弦"合成一个有幅值有相位的正弦。
符号:$Y_1$ 是基波的幅值,$\varphi_1$ 是基波相对输入的相位差。
类比:这就是把两个互相垂直的分量(一个横的一个竖的)合成一个矢量,长度是勾股定理,方向是反正切。

于是描述函数(据PPT幻灯片24): $$N(A)=|N(A)|e^{j\angle N(A)}=\frac{Y_1}{A}e^{j\varphi_1} =\frac{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}{A}\,e^{j\arctan(A_1/B_1)} =\frac{B_1}{A}+j\frac{A_1}{A}$$

这式子在说什么:描述函数 = 输出基波幅值 ÷ 输入幅值,再带上一个相位差。它就是"这个非线性环节对某个幅值 $A$ 的正弦,表现出来的等效放大倍数和等效相移"。
每个符号:$A$ 输入正弦振幅;$B_1/A$ 是实部,$A_1/A$ 是虚部;$|N(A)|$ 是等效幅值增益;$\angle N(A)$ 是等效相移。
怎么用:先写出正弦输入下非线性环节输出的分段解析表达式,再按上式积分求 $A_1,B_1$,组装成 $N(A)$(PPT幻灯片25第1条)。复杂特性可拆成若干简单非线性环节的串并联(第2条)。

【必看】一个从定义算到底的完整例子(PPT幻灯片26、27) 这是全章唯一一个"从定义出发做积分求 $N$"的完整演算,不能跳过——不亲手走一遍,后面 5.4 节那些现成公式你只会背不会来。

设非线性特性为 $y=\dfrac12 x+\dfrac14 x^3$(注意:它是光滑的,只是弯,所以是个好算的教学例子)。输入 $x=X\sin\omega t$($X$ 是输入振幅,这里用 $X$ 代替前面的 $A$,PPT 用的是 $X$,同一个意思)。

第一步,写出输出的表达式: $$y(t)=\frac12 X\sin\omega t+\frac14 X^3\sin^3\omega t$$

第二步,判断有没有虚部。该特性是奇函数($f(-x)=-f(x)$),按 5.3 节的结论 $A_0=0$、$A_1=0$,所以 $N$ 是实数,只需要求 $B_1$。

第三步,按定义积分求 $B_1$(PPT幻灯片26的式子): $$N=\frac{B_1}{X}=\frac{1}{\pi X}\int_0^{2\pi}\left(\frac12 X\sin\omega t+\frac14 X^3\sin^3\omega t\right)\sin\omega t\;d(\omega t)$$ 拆成两项: $$=\frac{1}{\pi X}\cdot\frac{X}{2}\int_0^{2\pi}\sin^2\omega t\,d(\omega t)+\frac{1}{\pi X}\cdot\frac{X^3}{4}\int_0^{2\pi}\sin^4\omega t\,d(\omega t)$$ 用两个标准积分(记住即可):$\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta=\pi$,$\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin^4\theta\,d\theta=\frac{3\pi}{4}$。代入: $$N=\frac{1}{\pi X}\cdot\frac{X}{2}\cdot\pi+\frac{1}{\pi X}\cdot\frac{X^3}{4}\cdot\frac{3\pi}{4}=\frac12+\frac{3X^2}{16}$$

第四步,写出结果与含义: $$N(X)=\frac12+\frac{3}{16}X^2,\qquad y_1(t)=\left(\frac12+\frac{3}{16}X^2\right)X\sin\omega t$$ - 这结果在说什么:这个环节的等效增益随输入振幅 $X$ 增大而增大(与饱和、继电正相反,因为 $x^3$ 项是"越推越猛"型的非线性)。 - 检验直觉:$X\to0$ 时 $N\to 1/2$,正好等于特性在原点处的斜率($y=\frac12x+\frac14x^3$ 在 $x=0$ 的导数是 $1/2$)——小信号时非线性项可忽略,退化成线性增益,与 3.1 节小偏差线性化对上了。

【补充算法(更快)】也可以先用三角恒等式 $\sin^3\theta=\dfrac{3\sin\theta-\sin3\theta}{4}$,直接读出基波系数: $$B_1=\frac{X}{2}+\frac{X^3}{4}\cdot\frac34=\frac{X}{2}+\frac{3X^3}{16}\ \Longrightarrow\ N=\frac{B_1}{X}=\frac12+\frac{3X^2}{16}$$ 同时看到被扔掉的是那个 $-\dfrac{X^3}{16}\sin3\omega t$ 的三次谐波——这就是描述函数法的近似误差所在,具体到底扔了什么,这里看得清清楚楚。

【补前置】复数与 $e^{j\varphi}$:复数 $a+jb$ 可以画成平面上的一个点/矢量,$j$ 是虚数单位($j^2=-1$)。$|N|e^{j\varphi}$ 是同一个复数的"极坐标写法":$|N|$ 是矢量长度,$\varphi$ 是它与实轴的夹角。两种写法可以互换,考试里画曲线用极坐标方便,做代数运算用 $a+jb$ 方便。

【难点】$N$ 和 $G(j\omega)$ 长得像,但有一处本质区别,必须记牢。 - $G(j\omega)$ 是频率 $\omega$ 的函数,与输入幅值无关(线性系统输入大一倍输出大一倍,比值不变)。 - $N(A)$ 是输入幅值 $A$ 的函数(典型非线性中还与 $\omega$ 无关)。 为什么? 因为非线性环节的"放大倍数"本来就随输入大小而变(见第3.2节等效增益)。输入小的正弦可能整个落在饱和特性的线性段里,增益就是 $K$;输入大了顶到饱和,平均下来的等效增益就下降。 这个"$N$ 随 $A$ 变"正是后面一切分析的引擎:曲线上的箭头标的就是 $A$ 增大的方向。

5.3 一个必须掌握的简化:奇对称 ⇒ 描述函数是实数

奇对称(奇函数)指 $f(-x)=-f(x)$,即特性曲线关于原点对称(输入取反,输出也正好取反)。饱和、死区、理想继电都是奇对称的。

据PPT幻灯片21、28,若非线性环节具有奇对称特性: - $A_0=0$(没有直流分量); - 若 $y(t)$ 为奇函数,则 $A_1=0$; - 若还满足半周期对称 $y(\omega t)=-y(\pi+\omega t)$,则 $B_1=\dfrac{4}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi/2}y(t)\sin\omega t\,d(\omega t)$(积分区间缩到四分之一周期,计算量大减)。

$A_1=0$ 的理由(课上讲的,要点转述):余弦分量的被积函数是"奇函数 × 偶函数 = 奇函数",而积分区间可以取成关于原点对称的 $-\pi$ 到 $\pi$,奇函数在对称区间上的积分为零。【补前置】为什么奇函数对称积分为零?奇函数图像左半边和右半边关于原点对称,一边在轴上方多少面积,另一边就在轴下方同样多少面积,正负抵消。

结论:此时 $\varphi_1=0$,$N(A)=\dfrac{B_1}{A}$ 是一个实数。 实数意味着什么? 意味着这个非线性环节只放大/缩小,不产生相移。画在复平面上,$N(A)$ 落在实轴上,那么 $-1/N(A)$ 也落在实轴上——负倒描述函数曲线就是负实轴上的一段。这个结论在做图解题时极其常用。

【难点】间隙特性是例外,它的 $N$ 是复数。 因为间隙是多值的(同一输入对应两个输出,取决于来的方向),输出波形对输入不是奇函数关系,$A_1\ne0$,于是 $N$ 带虚部,产生相位滞后。据PPT幻灯片33,间隙特性的描述函数为 $$N(X)=\frac{K}{\pi}\left[\frac{\pi}{2}+\arcsin\left(1-\frac{2b}{X}\right)+2\left(1-\frac{2b}{X}\right)\sqrt{\frac{b}{X}\left(1-\frac{b}{X}\right)}\,\right]+j\,\frac{4Kb}{\pi X}\left(\frac{b}{X}-1\right),\quad X\ge b$$ - 每个符号:$K$ 是间隙特性两条斜边的斜率(齿轮咬合上以后的传动比),$b$ 是间隙半宽(输入反向后空走的那一段的一半),$X$ 是输入正弦的振幅。条件 $X\ge b$ 的意思是:输入摆动幅度必须大于间隙,否则齿轮根本咬不上,输出恒为零。 - 怎么用:实部(方括号那一堆)是等效放大倍数,虚部为负(因为 $b/X-1<0$),说明间隙带来相位滞后,这是它比死区、饱和更容易把系统搞不稳定的原因。 - 定性记忆:$b/X\to0$(间隙相对很小)时,方括号 $\to\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi$,$N\to K$、虚部 $\to0$,退回纯线性放大——符合直觉。【存疑·待核】PPT该幻灯片是公式图片转文字,括号层次有粘连;上式已按可辨认的 PPT 原文并对照教材(胡寿松)通行形式订正(原笔记漏了第三项的系数 2、根号内也写错,现已改正)。仍建议做题时以教材原式再核一眼。

5.4 典型非线性的描述函数(以PPT为准)

考试通常会给出或允许查,但饱和与理想继电建议记住。

饱和特性(PPT幻灯片30至32)。当 $A>a$ 时输出为 $$y(t)=\begin{cases} KA\sin\omega t, & 0\le\omega t<\psi\\ Ka, & \psi\le\omega t<\pi-\psi\\ KA\sin\omega t, & \pi-\psi\le\omega t\le\pi\end{cases},\qquad \psi=\arcsin\frac{a}{A}$$ - 这式子在说什么:输入正弦的中间那段(峰顶附近)被削平成常数 $Ka$,两头还是正弦。 - 符号:$K$ 是线性段斜率,$a$ 是饱和开始的输入门限,$A$ 是输入振幅,$\psi$ 是刚好开始饱和的那个相位角。 - 结果($A_1=0$,$\varphi_1=0$): $$N(A)=\frac{B_1}{A}=\frac{2K}{\pi}\left[\arcsin\frac{a}{A}+\frac{a}{A}\sqrt{1-\left(\frac{a}{A}\right)^2}\,\right]$$ - 怎么用:$A\le a$ 时没进饱和,$N=K$;$A$ 越大,方括号里的值越小,$N(A)$ 单调下降趋于 0。这就量化了"饱和会让等效增益下降"。

继电特性的通式(先看它,两个特例才有来处)。PPT幻灯片35给的是"同时带滞环和不灵敏区"的一般继电特性的描述函数: $$N(X)=\frac{2M}{\pi X}\left[\sqrt{1-\left(\frac{mh}{X}\right)^2}+\sqrt{1-\left(\frac{h}{X}\right)^2}\,\right]-j\,\frac{2Mh}{\pi X^2}(m-1),\qquad (X\ge h)$$ - 这式子在说什么:继电器"什么时候动作、什么时候放开"这两个门槛不一定相同,通式把两个门槛都写进去了。 - 每个符号: - $M$——继电器输出幅值(输出只在 $\pm M$ 之间跳); - $h$——动作值,即输入涨到多大继电器才吸合(死区/不灵敏区的半宽); - $m$——回复系数,定义为"回复值与动作值之比",即 $m=\dfrac{\text{回复值}}{h}$,而回复值就是 $mh$:继电器已经吸合后,输入要跌回到 $mh$ 它才松开; - $X$——输入正弦振幅。 - $m$ 的两个极端(这就是下面两个特例的来源): - $m=1$:回复值 = 动作值,吸合和释放是同一个门槛,没有滞环,只剩死区;此时虚部里的 $(m-1)=0$,$N$ 是实数,两个根号也相同,合并成 $\frac{4M}{\pi X}\sqrt{1-(h/X)^2}$; - $m=-1$:输入要反向跌到 $-h$ 才释放,滞环最大、死区消失,是纯滞环的两位置继电;代入 $m=-1$:第一个根号 $\sqrt{1-(h/X)^2}$ 与第二个相同,实部同样是 $\frac{4M}{\pi X}\sqrt{1-(h/X)^2}$,虚部 $-j\frac{2Mh}{\pi X^2}(-1-1)$……注意 PPT 幻灯片37 给出的结果虚部为 $-j\frac{4Mh}{\pi X^2}$(符号以幻灯片37为准,通式的正负号在 OCR 里易失真,做题按下面两个特例式子用即可)。 - 怎么用:考试基本只用下面两个特例,通式的作用是让你知道 $m$ 是什么、两个特例为什么长这样。若你不想记 $m$,把下面两条读成"无滞环时"和"有滞环时"即可。

三位置(带死区、无滞环)理想继电特性(PPT幻灯片37,即通式取 $m=1$): $$N(X)=\frac{4M}{\pi X}\sqrt{1-\left(\frac{h}{X}\right)^2},\qquad (X\ge h)$$ 具有滞环的两位置继电特性(通式取 $m=-1$,PPT幻灯片37): $$N(X)=\frac{4M}{\pi X}\sqrt{1-\left(\frac{h}{X}\right)^2}-j\,\frac{4Mh}{\pi X^2},\qquad(X\ge h)$$ 理想继电特性(无死区无滞环): $$N(X)=\frac{4M}{\pi X}$$ - 符号:$M$ 是继电器输出的幅值(输出只在 $+M$ 和 $-M$ 之间跳),$h$ 是死区半宽,$X$ 是输入正弦振幅。 - 怎么用:理想继电的 $N=\dfrac{4M}{\pi X}$ 说明输入越大等效增益越小(因为输出幅度被钉死在 $M$,输入涨了输出不涨,比值当然掉)。相应地 $-\dfrac{1}{N}=-\dfrac{\pi X}{4M}$,是负实轴上从 0 出发、随 $X$ 增大一路向左走到 $-\infty$ 的一条射线——这是最常考的一条负倒描述函数曲线,务必记住它的形状和箭头方向。

多重非线性(PPT幻灯片38至40),两条易错结论: - 串联:"串联非线性特性的描述函数绝不等于两个非线性描述函数的乘积。"必须先把两个特性合成一个总的输入输出特性,再对总特性求描述函数。 - 并联:"并联的非线性特性的描述函数相当于两个非线性环节的描述函数之和。"

【你可能会以为】串联环节的等效特性就像结构图化简那样传递函数相乘。 但其实串联时不行、并联时可以。因为并联是两条支路对同一个输入 $x$ 各自作用后把输出相加,傅里叶展开是线性运算,基波可以直接相加;而串联时第二个环节的输入是第一个环节已经畸变了的波形,不再是纯正弦,描述函数的定义前提(输入必须是正弦)就已经不成立了,自然不能各求各的再相乘。

6. 描述函数法(二):怎么用它判稳、找自振

这是本讲的最高潮,也是本校真题的落点(p009.md 原文:"直接给出G(jw)和非倒描述函数的图像";"非倒"应为"负倒",见第0节的说明)。

6.1 四个前提条件(必背,考纲明确要求"掌握描述函数分析法的前提和条件")

据PPT幻灯片18、19:

系统线性部分和非线性环节可以分离——即整个系统能画成"非线性环节 NL 串联线性环节 $G(s)$,再加单位负反馈"的标准结构。
非线性环节特性具有奇对称特性,保证在正弦作用下输出不包含恒定(直流)分量。
非线性部分输出中基波分量最强。
线性部分应具有良好的低通滤波特性。

【补前置】低通滤波特性是什么?就是"低频信号能顺利通过,高频信号被大幅衰减"的性质。第5章你画过对数幅频特性,含积分环节或多个惯性环节的 $G(s)$ 在高频段是往下掉的斜线,频率越高幅值越小——这就是低通。 为什么这条是描述函数法成立的命根子? 因为非线性环节输出里含有大量高次谐波,我们粗暴地把它们扔了。凭什么能扔?凭线性部分会替我们把它们滤掉——高次谐波走过 $G(j\omega)$ 后已经被衰减得几乎没有了,绕回来送进非线性环节输入端的信号仍近似是纯正弦,与"输入是正弦"的假设自洽。所以PPT幻灯片19才说:满足以上条件后,"描述函数可定义为非线性环节输出基波分量与输入正弦量的复数比"。

【难点】这四条不是形式主义,是描述函数法的"有效性合同"。 难在学生容易把它当作背诵条目而不理解代价。 正确理解:描述函数法是近似方法,它的误差全部藏在"被扔掉的高次谐波"里。条件2保证没有直流偏置,条件3、4保证高次谐波确实小到可以扔。一旦线性部分低通性差(比如它本身是个微分环节,高频反而放大),描述函数法给的结论就可能完全错。

6.2 从奈氏判据到"广义奈氏判据"

先回忆线性情形(PPT幻灯片42): 闭环特征方程 $1+KG(j\omega)=0$,即 $G(j\omega)=-\dfrac{1}{K}+j0$。 "当曲线不包围点 $(-\frac1K,\,j0)$ 时,系统稳定;反之,系统不稳定。" 这其实就是你第5章学的奈氏判据在增益为 $K$ 时的说法:临界点从 $(-1,j0)$ 变成 $(-1/K,\,j0)$。

再看增益可变的情形(PPT幻灯片43):当 $K$ 在区间 $[K_1,K_2]$ 内变动时,"则曲线 $G(j\omega)$ 不包围线段 $\left[-\dfrac{1}{K_1},\,-\dfrac{1}{K_2}\right]$ 时,系统稳定"。 注意这一步:临界点变成了临界线段。 这就是通往非线性的桥。

最后到非线性(PPT幻灯片43):非线性系统闭环特征方程 $$1+N(A)G(j\omega)=0\quad\Longrightarrow\quad G(j\omega)=-\frac{1}{N(A)}$$

这式子在说什么:把标准负反馈闭环的特征方程 $1+(\text{开环})=0$ 里的开环写成"非线性等效增益 $N(A)$ 乘线性部分 $G(j\omega)$"。
$-\dfrac{1}{N(A)}$ 叫负倒描述函数。它在非线性分析中扮演的角色,完全等同于线性系统里的临界点 $(-1,j0)$——只不过因为 $N$ 随 $A$ 变,这个"临界点"被拉成了复平面上的一条曲线。
怎么用:在同一张复平面上画两条曲线——线性部分的奈氏曲线 $G(j\omega)$(参变量是 $\omega$)和负倒描述函数曲线 $-1/N(A)$(参变量是 $A$,曲线上的箭头指向 $A$ 增大的方向,这一点PPT幻灯片44明确写了)——然后看它们的相对位置。

广义奈氏判据(据PPT幻灯片44):

当线性部分 $G(s)$ 的所有极点均分布在 s 左半平面,若 $G(j\omega)$ 不包围 $-\dfrac{1}{N(A)}$ 曲线,则闭环系统是稳定的;否则不稳定。

【补前置】极点是什么?传递函数分母为零的那些 $s$ 值,它们决定系统自由运动的形式;"极点都在左半平面"意思是线性部分本身是稳定的(这是判据的适用前提,别漏)。【补前置】"包围"怎么看?沿 $\omega$ 从 $0$ 到 $+\infty$(必要时补画镜像成完整奈氏曲线)走一遍 $G(j\omega)$,看被考察的点是落在曲线圈住的区域里还是外面。据PPT幻灯片48:"复平面上将 $G(j\omega)$ 曲线包围的区域视为不稳定区域,曲线不包围的区域视为稳定区域"。

6.3 读图三种情形(真题就考这个)

情形一:两条曲线不相交,$-1/N(A)$ 整条都在 $G(j\omega)$ 的包围之外。 ⇒ 系统稳定,不会产生自振。任何初始扰动最终衰减到零。

情形二:两条曲线不相交,$-1/N(A)$ 被 $G(j\omega)$ 包围。 ⇒ 系统不稳定,输出发散。

情形三:两条曲线相交(最常考)。 据PPT幻灯片45:若 $G(j\omega)$ 与 $-\dfrac{1}{N(A)}$ 有交点,说明 $1+N(A)G(j\omega)=0$ 有实数解,"这时非线性系统会发生等幅振荡,即周期运动。交点不止一个时,就会有若干周期运动的点"。交点处联立(幻灯片45): $$G(j\omega)=-\frac{1}{N(A)}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}\mathrm{Re}\!\left[G(j\omega)N(A)\right]=-1\\[2pt] \mathrm{Im}\!\left[G(j\omega)N(A)\right]=0\end{cases}$$ - 这式子在说什么:两个复数相等,等价于实部相等且虚部相等,于是一个复方程拆成两个实方程。 - 怎么用:两个方程解两个未知数 $A$ 和 $\omega$。解出的 $A$ 就是自振振幅,$\omega$ 就是自振频率(PPT幻灯片46:"交点处的频率为自激振荡的频率,交点处的幅值为自激振荡的幅值")。 - 实操上,由于典型非线性的 $N$ 与 $\omega$ 无关且常为实数,通常是:先由"虚部为零"(即 $G(j\omega)$ 与负实轴相交)解出 $\omega$,代回求出 $G$ 在交点的实部值,再由 $-1/N(A)=$ 该实部值反解 $A$。

6.4 【难点】交点稳不稳:自振点 vs 非自振点

交点不都是自振点。 只有"稳定的周期运动"才叫自激振荡(PPT幻灯片46)。判别规则(PPT幻灯片48原话):

当交点位于负倒描述函数曲线沿振幅增加的方向由不稳定区域进入稳定区域时,该交点对应的振荡为自激振荡。反之,该交点的振荡不能维持。

为什么?用扰动法自己推一遍(这是拿分关键,PPT幻灯片47就是这个推法): 设当前工作在交点 $M_1$,振幅为 $A_M$。 - 假设有扰动让振幅 $A$ 增大,工作点沿 $-1/N(A)$ 曲线朝箭头方向移动,若移到了稳定区域(不被 $G(j\omega)$ 包围)⇒ 系统此时是收敛的 ⇒ 振幅自己衰减回来,退回 $M_1$。 - 假设扰动让 $A$ 减小,工作点逆箭头移动,若落进不稳定区域⇒ 系统此时发散 ⇒ 振幅自己长回来,回到 $M_1$。 - 两头都往回收 ⇒ $M_1$ 这个周期运动能维持,是自振点。

反过来,若沿 $A$ 增大的方向是"从稳定区进入不稳定区",那么幅度一大就更发散、一小就更收敛,两头都往外跑,这个周期运动一碰就散,不是自振点(它是两种命运的分界线)。

【你可能会以为】"曲线一相交就有自振,题目问振幅就直接算交点"。 但其实必须先判交点性质。若有两个交点,常见结论是:小振幅那个交点不稳定、大振幅那个才是自振点(具体以图上箭头和区域为准,别背结论要读图)。因为这正对应PPT幻灯片49说的非线性特有现象:"运动的稳定性与初始条件有关……初始值较小时,运动收敛于零;初始值较大时,运动收敛于自激振荡。" ——那个不稳定的交点就是门槛:初值小于它,系统回到零;初值大于它,系统被吸到自振上去。这就是本讲第2节"稳定性依赖初始条件"的具体图像,前后在这里打通了。

典型考法(据 p009.md 记录的真题描述):给出 $G(j\omega)$ 和负倒描述函数的图像,问"是否存在自振""哪些区域稳定、哪些不稳定""图中某特定点的稳定性""自振的振幅和频率"。答题套路固定: 1. 判断 $-1/N$ 曲线各段是否被 $G(j\omega)$ 包围 ⇒ 划出稳定/不稳定区间(用 $A$ 的范围表述,不要笼统说系统稳定); 2. 找交点 ⇒ 存在周期运动; 3. 对每个交点用"沿 $A$ 增大方向,是否由不稳定进入稳定"判别是不是自振点; 4. 若要数值,联立实部虚部方程解 $A$ 和 $\omega$。

PPT幻灯片50给出的例题形式是:"如图已知继电器控制系统。分析系统,如果要使系统不产生自激振荡,应如何调整参数 $a$ 和 $b$?振荡频率和振幅各是多少?"——注意还有"反过来设计参数使不自振"这种问法,思路是让两条曲线不相交。

7. 相平面法

7.1 相平面、相点、相轨迹是什么

据PPT幻灯片51:"相平面法是求解一、二阶常微分方程的图解法,它是时域分析法在非线性系统中的应用和推广。可以用来分析一、二阶线性或非线性系统的稳定性、运动形式、平衡位置以及初始条件和参数对系统运动的影响等。"针对的方程形式是 $$\ddot x=f(x,\dot x)$$ - 这式子在说什么:加速度由当前的位置和速度决定(可以是任意非线性的函数关系)。 - 符号:$x$ 是被研究的变量(常取误差或输出),$\dot x$ 是它的一阶导(速度),$\ddot x$ 是二阶导(加速度)。

据PPT幻灯片52: - 相平面:横坐标 $x(t)$、纵坐标 $\dot x(t)$ 的平面; - 相点:$[x(t),\dot x(t)]$ 这一对数,代表系统在某一时刻的一个状态; - 相轨迹:沿着时间增加的方向把相点连起来的曲线; - 关键一句原话:"在相平面上,时间是隐含的。相轨迹上的箭头方向,表明随时间增加时相点的运动方向。"

【难点】"时间是隐含的"是本节最大的思维跳跃。 难在你前面画的所有图(阶跃响应、Bode图)横轴都是时间或频率,这里横轴突然变成了位移。 正确理解:相平面图不告诉你"第3秒时在哪",它告诉你"从某个状态出发,系统会怎么演化下去"。类比:阶跃响应曲线像行车记录仪(带时间戳的一路录像);相平面图像地图上画的路线(哪条路通向哪里,一目了然,但不标几点钟到)。换来的好处是:一张图能同时展示所有初始条件下的所有可能运动,而这正是非线性系统最需要看的东西(因为它的行为依赖初始条件)。

【补前置】为什么纵轴取导数就能代表"状态"? 因为二阶系统的未来完全由"现在的位置 + 现在的速度"决定(给了这两个,加速度就由方程算出来,后面的一切就定了)。所以 $(x,\dot x)$ 这一对数就是二阶系统的完整"状态"。这也解释了为什么相平面法只能用于一阶、二阶:三阶需要 $(x,\dot x,\ddot x)$ 三个数,画出来是三维空间,纸上没法看。PPT幻灯片53原话:"只能用于一阶和二阶线性或非线性系统"。

7.2 怎么画相轨迹

据PPT幻灯片54,分两大类:

先补一个所有方法都要用的关键式:相轨迹的斜率怎么算。 相轨迹是 $\dot x$ 关于 $x$ 的曲线,它在某点的斜率就是 $\dfrac{d\dot x}{dx}$。可微分方程给的是 $\ddot x=f(x,\dot x)$,里面并没有 $\dfrac{d\dot x}{dx}$,怎么接上?用链式法则把时间 $t$ 消掉: $$\frac{d\dot x}{dx}=\frac{d\dot x}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}=\frac{\ddot x}{\dot x}=\frac{f(x,\dot x)}{\dot x}$$ - 这式子在说什么:"相轨迹在某点的陡峭程度 = 该点的加速度 ÷ 该点的速度"。 - 每个符号:$\dfrac{d\dot x}{dt}=\ddot x$ 是加速度;$\dfrac{dx}{dt}=\dot x$ 是速度,所以 $\dfrac{dt}{dx}=1/\dot x$;$f(x,\dot x)$ 就是原方程右边给的那个表达式。 - 为什么合法:因为 $x$ 和 $\dot x$ 都是时间的函数,两者之间的变化率可以通过共同的 $t$ 转接,这就是链式法则。时间就是在这一步被消掉的,这也正是"相平面上时间隐含"的数学来源。 - 怎么用:①它是等倾线法的出发点;②它也是直接积分法的出发点(把它交叉相乘就得到 $\dot x\,d\dot x=f(x,\dot x)\,dx$);③顺便解释了 7.3 节两条性质——$\dot x=0$ 时斜率为无穷大(垂直穿过 $x$ 轴),$\dot x=0$ 且 $f=0$ 时斜率是 $0/0$ 不定(奇点)。

A. 解析法(能得到精确关系,考试更常见) 1. 消去参考变量 $t$:直接解微分方程求出 $x(t)$(和 $\dot x(t)$),在表达式中把 $t$ 消掉,就得到 $x$ 与 $\dot x$ 的关系。 2. 直接积分法(PPT标注"例:p359"):适用于变量可分离的方程。做法是把上面的斜率式交叉相乘成 $\dot x\,d\dot x=f(x,\dot x)\,dx$,再把"只含 $x$ 的部分"与"只含 $\dot x$ 的部分"分列等号两边,两边各自积分,得到 $x$ 与 $\dot x$ 的关系式。【补前置】变量分离是解微分方程最基础的一招:把式子凑成 $g(\dot x)\,d\dot x=h(x)\,dx$,两边一积分,时间就自动消掉了,直接得到轨迹方程。

演算示范一:一阶线性系统(PPT幻灯片58,最简单的入门台阶) 系统方程 $T\dot c(t)+c(t)=r(t)$,取 $r(t)=0$(只看自由运动),即 $$T\dot c+c=0$$ - 符号:$c$ 是输出,$\dot c$ 是它的变化率,$T$ 是惯性时间常数(第3章一阶系统那个 $T$)。直接移项就得到相轨迹方程: $$\dot c=-\frac{1}{T}c$$ - 这式子在说什么:一阶系统的相轨迹(横轴 $c$、纵轴 $\dot c$)是一条过原点、斜率为 $-1/T$ 的直线,不需要任何积分。 - 怎么读图:$c>0$ 时 $\dot c<0$(在下半平面,箭头向左),$c<0$ 时 $\dot c>0$(上半平面,箭头向右)——两边都朝原点走,说明系统收敛到 $c=0$,与你在第3章学的"一阶惯性环节指数衰减"完全一致。$T$ 越小直线越陡,收敛越快。 - 为什么它值得单独看:它让你亲手确认"相轨迹 = 用 $\dot c$ 对 $c$ 作图",且时间确实不出现在图上。

演算示范二:二阶线性系统(PPT幻灯片59) $$\ddot c+2\zeta\omega_n\dot c+\omega_n^2c=0$$ - 符号:$\zeta$ 是阻尼比,$\omega_n$ 是无阻尼自然频率(第3章二阶系统标准式,原样搬来)。按上面的斜率式,把 $\ddot c=-2\zeta\omega_n\dot c-\omega_n^2 c$ 代入: $$\frac{d\dot c}{dc}=\frac{-2\zeta\omega_n\dot c-\omega_n^2c}{\dot c}$$ 这就是二阶系统的相轨迹微分方程。它一般不能像一阶那样一眼看出形状,但不必硬解:按 7.4 节的办法,写出特征方程 $s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2=0$,由 $\zeta$ 的取值判断根的类型,直接得到奇点(原点)的类型和图形: - $0<\zeta<1$(共轭复根、实部为负)⇒ 稳定焦点,螺旋线卷向原点(对应第3章的欠阻尼衰减振荡); - $\zeta\ge1$(两个负实根)⇒ 稳定节点,轨迹不绕圈地扑向原点(过阻尼单调衰减); - $\zeta=0$(纯虚根)⇒ 中心点,一族同心闭合曲线(等幅振荡); - $\zeta<0$ ⇒ 相应地变成不稳定焦点/节点,轨迹向外发散。 这正是 7.4 那张奇点表的来路:表不是背下来的规定,就是把第3章"特征根 ↔ 响应形式"的对应关系翻译成了图形语言。

演算示范三:直接积分法(分段线性系统最常考的一段) 继电、饱和这类系统在某个区域内常常化成"加速度是常数"的形式,例如 $$\ddot x=-M\qquad(M>0,\ 该区域内继电器输出恒为\ +M,\ 产生恒定的减速)$$ 用斜率式并交叉相乘,分离变量: $$\frac{d\dot x}{dx}=\frac{-M}{\dot x}\ \Longrightarrow\ \dot x\,d\dot x=-M\,dx$$ 两边积分($\int \dot x\,d\dot x=\frac12\dot x^2$): $$\frac12\dot x^2=-Mx+C\ \Longrightarrow\ \dot x^2=-2M(x-x_0)$$ - 这式子在说什么:相轨迹是一条开口朝左的抛物线($\dot x^2$ 正比于 $-x$)。 - 每个符号:$C$ 是积分常数,由初始条件 $(x(0),\dot x(0))$ 定;$x_0=C/M$ 是抛物线顶点的横坐标。积分常数就是"初始条件"进入相轨迹的唯一入口——不同初值给出同族里不同的一条抛物线。 - 怎么用:分段线性系统(7.6节)在每个区域里都做这么一次,得到该区域的一族曲线,再在开关线上把相邻区域的曲线接起来。这是相平面大题的标准动作,务必会做。 - 校验:轨迹在上半平面($\dot x>0$)确实向右走,而 $\ddot x<0$ 会把 $\dot x$ 一路压到零,再变负——正好是抛物线绕过顶点的走法,自洽。

B. 图解法:等倾线法 "等倾线是指在相平面内相轨迹斜率相同点的连线。" 做法:令上面的斜率等于某个常数 $\alpha$,得到等倾线方程 $$\frac{f(x,\dot x)}{\dot x}=\alpha\quad\Longleftrightarrow\quad f(x,\dot x)=\alpha\,\dot x$$ - 这式子在说什么:满足这个方程的所有点 $(x,\dot x)$ 连成的曲线上,相轨迹的斜率都等于同一个值 $\alpha$。 - 每个符号:$\alpha$ 是你自己挑的斜率值(比如取 $-2,-1,0,1,2$ 各画一条);$f(x,\dot x)$ 是原方程右边。 - 怎么用:先给 $\alpha$ 取一串值、画出对应的一串等倾线;在每条等倾线上画一堆斜率为 $\alpha$ 的小短划(表示相轨迹经过该处时的走向);再从初始点出发,顺着这些小短划一段一段地把曲线描出来。课上提醒(要点转述):等倾线法是直线近似的方法,在历年考研题中出现非常少,理解有困难可以不作为重点;另有δ法(圆弧逼近),同属近似方法。图解法只能近似,解析法才精确,因此考题若让你画相轨迹,多数用解析法。 (说明:δ法本讲仅提及名称与"圆弧逼近"这一属性,老师明确说图解法两种都是近似且等倾线法极少考,PPT也未展开δ法,故此处不再深入。)

7.3 相轨迹的通用性质(读图必备)

据PPT幻灯片57:

奇点:如果 $f(x,\dot x)$ 和 $\dot x$ 同时为零,则该点斜率为不定值($0/0$),有相轨迹在该点相交。该点称为奇点。
除奇点外,不同初始条件的相轨迹不会相交。
奇点就是平衡点,它只能在 $x$ 轴上。
除奇点外,相轨迹总是垂直通过 $x$ 轴。
相平面的上半平面,相轨迹从左向右;下半平面,相轨迹从右向左。

【难点】上面这几条为什么成立,必须想通,否则读图全靠背。 - 奇点为什么在 $x$ 轴上:平衡意味着不动,速度必须为零,而纵轴就是速度 $\dot x$,所以 $\dot x=0$,点落在横轴上。 - 上半平面为什么从左向右:上半平面 $\dot x>0$,速度为正意味着 $x$ 在增大,横坐标当然向右移。下半平面 $\dot x<0$ 同理向左。这条是画箭头方向的唯一依据,必考。 - 为什么垂直穿过 $x$ 轴:在 $x$ 轴上 $\dot x=0$(速度为零),但加速度一般不为零,所以此刻 $x$ 不变而 $\dot x$ 在变 ⇒ 运动方向是纯竖直的。 - 为什么轨迹不相交:如果两条轨迹在非奇点处相交,那同一个状态 $(x,\dot x)$ 就有两个不同的未来,违反"状态决定未来"。在奇点处 $0/0$ 斜率不定,才允许多条相聚。

对称性判据(PPT幻灯片56): - 若相轨迹关于 $x$ 轴对称,则 $f(x,\dot x)$ 是 $\dot x$ 的奇函数; - 若关于 $\dot x$ 轴对称,则 $f(x,\dot x)$ 是 $x$ 的偶函数; - 若 $f(x,\dot x)=-f(-x,-\dot x)$,相轨迹关于原点对称。 (这几条用于省画一半图,属次要技巧,考试偶见。)

7.4 奇点的六种类型(必背表)

思路(课上讲的流程,要点转述):从非线性微分方程出发 → 令一阶导、二阶导为零,求出奇点(平衡点) → 在奇点附近做线性化(第3.1节的泰勒展开) → 写出线性化后方程的特征方程、求特征根 → 按特征根的类型确定奇点类型和附近相轨迹形状。

【补前置】特征根是什么?二阶线性方程 $\ddot x+a\dot x+bx=0$ 对应的特征方程是 $s^2+as+b=0$,它的两个根 $s_{1,2}$ 就是特征根。回忆第3章:根的实部决定收敛还是发散(负=衰减,正=发散),根的虚部决定振不振荡(有虚部=振荡,纯实数=单调)。这一句是下表的全部逻辑来源,记住它就不用死背表。

特征根	奇点名称	相轨迹形状	时域响应 $x(t)$
一对共轭复根,实部为负	稳定焦点	螺旋形卷向奇点	衰减振荡
一对共轭复根,实部为正	不稳定焦点	螺旋形卷离奇点	发散振荡
两个互不相等的负实根	稳定节点	各轨迹卷向奇点(不绕圈)	单调衰减
两个互不相等的正实根	不稳定节点	各轨迹卷离奇点	单调发散
一对共轭纯虚根(实部为零)	中心点	一族闭合曲线(同心环)	等幅振荡(简谐运动)
两个实根,一正一负	鞍点	马鞍形(双曲线状),奇点必不稳定	以发散为主要趋势

【补前置】共轭复根指形如 $\sigma\pm j\omega_d$ 的一对根,实部相同虚部相反。【补前置】"卷向/卷离"说的是箭头方向:轨迹从外面盘旋着收进奇点(卷向,稳定)还是从奇点盘旋着甩出去(卷离,不稳定)。判断图上箭头别忘了用"上半平面从左到右"这条铁律去核对。

【你可能会以为】焦点和节点的区别是"稳不稳"。 但其实焦点/节点区分的是振不振荡(有没有虚部),稳定/不稳定才是看实部符号。四种组合独立:稳定焦点(振荡衰减)、不稳定焦点(振荡发散)、稳定节点(单调衰减)、不稳定节点(单调发散)。

【难点】鞍点最容易错。它有一正一负两个实根,不管怎么样正根那一支迟早主导 ⇒ 鞍点永远不稳定。相轨迹只有沿着某一条特殊方向(负根对应的方向)才会趋向它,其余全被甩开。老师提到"究竟正实根占的分量大还是负实根占的分量大,决定响应曲线以发散还是收敛为主要趋势",这说的是初始条件在两个方向上的分配比例会影响早期走势,但最终趋势由正根决定,一律发散。别被"以收敛为主"的措辞误导成"鞍点可能稳定"。

【难点】中心点在非线性系统里的地位跟线性系统不同。 线性系统的纯虚根等幅振荡是脆弱的临界状态(参数一飘就没了);而非线性系统能维持长期的自振。但要注意:相平面上的中心点(一族闭合环)和"自振"不是同一件事。真正的自振在相平面上对应的是极限环,见下节。这个坑很多人踩。

7.5 奇线与极限环

据PPT幻灯片64:

奇线是特殊的相轨迹,它将相平面划分为具有不同运动特点的各个区域。 极限环是相平面上孤立的简单的封闭的相轨迹,它附近的其它相轨迹都无限地趋向或者离开这条封闭的相轨迹。 (原文此处为"封闭的相平面",疑为PPT笔误,按教材应为"相轨迹",上面已按教材订正)极限环本身作为一条相轨迹,既不存在平衡点,也不趋向无穷远。 稳定的极限环对应自激振荡。

【难点】极限环 vs 中心点周围的闭合环,怎么分? - 中心点周围是一整族闭合曲线,一层套一层,连续无穷多条;每条对应一个初始条件,振幅由初始条件决定,彼此之间没有吸引关系。 - 极限环是孤立的一条闭合曲线,它周围的轨迹要么盘旋着趋近它、要么盘旋着离开它。趋近的叫稳定极限环,就是自振:振幅由系统自身决定,与初始条件无关(初始条件只决定它从内侧还是外侧靠拢)。 这正好和第 6 节描述函数法的自振点对上了:同一个自振现象,频域里表现为两条曲线的一个稳定交点,时域相平面里表现为一个稳定极限环。两把工具,一个真相。

7.6 用相平面法分析分段线性的非线性系统

许多本质非线性(饱和、死区、继电)的特性曲线是由分段直线构成的。据PPT幻灯片65、66:

对于由线性分段组成的非线性系统,可以把它分解,把非线性系统当作若干线性子系统来研究。对于每一个子系统,存在一叶相图和一个奇点,每一叶相图上相轨迹的运行规律通常是不同的。我们关心的是每一线性部分的变化规律,和从这一相平面到另一相平面的过渡。这一类非线性特性曲线的折线的各个折点,构成相平面区域的分界线,称为开关线。

操作步骤(答题流程): 1. 按非线性特性的折点把相平面划分成几个区域,区域边界就是开关线; 2. 在每个区域内,系统是线性的,写出该区域的线性微分方程; 3. 求该区域方程的奇点、定类型、画出该区域内的相轨迹(一"叶"相图); 4. 在开关线上把相邻区域的相轨迹首尾衔接(交界处的 $x$ 和 $\dot x$ 连续,所以直接接上); 5. 拼成整体相轨迹,读出系统的运动情况。

【补前置】实奇点与虚奇点(课上讲的,PPT未见此对术语,属教材常见提法):某区域线性方程算出的奇点,如果落在该区域自己的范围内,叫实奇点(系统真能走到那儿停下);如果算出来的奇点落在区域外面,叫虚奇点(系统还没走到那个位置就已经跨过开关线、换成另一套方程了,所以那个平衡点是"假的、够不着的")。【难点】虚奇点是相平面法大题最容易丢分的地方。学生算完奇点就直接当平衡点用,不检查它在不在本区域内。正确做法:每算出一个奇点,必须回头看它是否落在该子区域的定义范围内,并注明实/虚。

8. 这一讲的骨架

真正要带走的东西,一共七条:

非线性 = 不满足叠加原理,数学模型是非线性微分方程,所以传递函数、频率特性、劳斯判据全部失效,必须另起炉灶。
四大特性:稳定性依赖初始条件与输入(且可能有多个平衡点,只能说"在什么范围内稳定");能产生自振(固定振幅频率、由系统自身决定的稳定周期运动);不能叠加;正弦响应畸变含高次谐波。
能小偏差线性化的叫非本质非线性(泰勒展开留常数项和一次项,得增量方程,前提是偏离工作点很小且曲线光滑);不能线性化的叫本质非线性(继电、死区、饱和、间隙、摩擦),本章研究后者。
非线性环节可看作变增益比例环节,等效增益 $k=f(x)/x$ 随输入大小而变——这是自振的物理机理,也是广义奈氏判据的思想来源。
描述函数 $N(A)$ = 输出基波与输入正弦的复数比,是频率特性的推广;它是输入幅值 $A$ 的函数(不含储能元件时与 $\omega$ 无关);奇对称非线性的 $N$ 为实数。四个前提条件:可分离、奇对称、基波最强、线性部分低通滤波好。
广义奈氏判据:把临界点 $(-1,j0)$ 换成负倒描述函数曲线 $-1/N(A)$。不包围则稳定;包围则不稳定;相交则有周期运动,交点处联立 $\mathrm{Re}[GN]=-1$、$\mathrm{Im}[GN]=0$ 解出自振的振幅 $A$ 与频率 $\omega$;沿 $A$ 增大方向由不稳定区进入稳定区的交点才是自振点。
相平面法是时域法的推广,只适用一、二阶;横轴 $x$ 纵轴 $\dot x$,时间隐含;奇点即平衡点、只在 $x$ 轴上;六种奇点(稳定/不稳定焦点、稳定/不稳定节点、中心点、鞍点)由线性化后的特征根类型决定;上半平面轨迹从左到右、下半平面从右到左;分段线性系统按开关线分区求解再衔接,注意实奇点与虚奇点;稳定的极限环 = 自振。

诚实的难度提示:本讲第一遍看不懂很正常。经验上卡点通常在三处: (1) 接受"稳定性依赖初始条件"这件事,需要主动放弃"稳定是个是非题"的旧直觉; (2) 描述函数为什么可以"只留基波"——卡住的话回去重读第5.2节的傅里叶展开和第6.1节的低通滤波条件,这两处是同一个道理的两面; (3) 相平面上"时间隐含"的读图方式,以及交点稳定性的扰动判别。这三处建议配合下一讲例题反复过,不要指望一遍通。

9. 自测(戳穿假懂版)

1. 系统方程为 $\ddot x+3\dot x+2x=r(t)$。它是线性还是非线性?再看 $\dot x=-x^3$,几阶?线性还是非线性?

答案要点:第一个是二阶线性(未知函数及其导数都是一次方);第二个是一阶非线性($x^3$)。答错说明:你把"阶数高低"当成了"线不线性"的判据,第1节白看了。

2. 有人说:"这个非线性系统是稳定的。"这句话为什么不合格?应该怎么说?

答案要点:非线性系统不存在笼统的整体稳定性,稳定性与初始条件、输入幅值有关,可能有多个平衡点各自稳定性不同。正确说法必须带范围:"在某某初始条件范围(或某某振幅范围)内是稳定的"。答错说明:特性一没真接受,只是背下来了。

3. 某非线性环节输入 $x=A\sin\omega t$,输出实测为 $y=0.8A\sin\omega t+0.05A\sin3\omega t$。求它的描述函数 $N(A)$。第二项去哪了?凭什么扔?

答案要点:$N(A)=0.8$(实数,无相移)。三次谐波被扔掉,依据是描述函数只取基波分量;合法性依赖"基波分量最强"和"线性部分具有良好低通滤波特性"这两个前提——高次谐波会被后面的线性环节滤掉。答错说明:若你去算了含 $3\omega$ 的比值,说明没抓住"只比基波"这个定义核心;若答不出"凭什么扔",说明前提条件只是背了没懂。

4. 理想继电特性 $N(X)=\dfrac{4M}{\pi X}$。写出 $-1/N(X)$,并说明它在复平面上是什么形状、箭头(即 $X$ 增大方向)指向哪边。

答案要点:$-\dfrac{1}{N}=-\dfrac{\pi X}{4M}$,是负实轴上的一条射线;$X$ 从 0 增大时,该点从原点出发沿负实轴一路向左移向 $-\infty$,箭头指向左方。答错说明:若说不出"在负实轴上",说明没抓住"$N$ 为实数 ⇒ $-1/N$ 在负实轴"这一步;若箭头方向搞反,读图题必错。

5. 一张图上,$G(j\omega)$ 曲线与 $-1/N(A)$ 曲线有两个交点 $P_1$(小 $A$)和 $P_2$(大 $A$)。已知沿 $A$ 增大方向,曲线在 $P_1$ 处由稳定区进入不稳定区,在 $P_2$ 处由不稳定区进入稳定区。判断哪个是自振点,并说明初值很小时和初值较大时系统各会怎样。

答案要点:$P_2$ 是自振点(沿 $A$ 增大由不稳定进入稳定);$P_1$ 不能维持,它是分界门槛。初值(振幅)小于 $P_1$ 对应幅值时,运动收敛于零;大于它时,运动被吸引到 $P_2$ 的自激振荡上。答错说明:若你只会说"有交点就有自振",第6.4节没过关,而这正是本校真题的考点。

6. 相平面上某点 $(x,\dot x)=(2,\,-1)$,相轨迹的箭头往左还是往右?为什么?

答案要点:$\dot x=-1<0$,在下半平面,速度为负说明 $x$ 在减小,箭头向左。答错说明:说明你在背"下半平面从右到左"而没理解它就是"速度为负则位置减小"。

7. 某二阶系统在奇点附近线性化后的特征根为 $s_{1,2}=-1\pm j2$。奇点叫什么?附近相轨迹什么形状?时域响应什么样?若改成 $s_1=-2,\,s_2=+3$ 呢?

答案要点:前者实部为负、有虚部 ⇒ 稳定焦点,相轨迹螺旋卷向奇点,响应为衰减振荡。后者一正一负两个实根 ⇒ 鞍点,相轨迹呈马鞍(双曲线)形,奇点不稳定,最终发散。答错说明:若把焦点/节点的区分记成了稳定与否,回看7.4节的【你可能会以为】。

8. 一个含饱和特性的系统用相平面法分析,你把相平面分成了三个区域。在中间(线性)区域算出奇点在原点,但在右侧饱和区域算出的奇点坐标是 $x=-5$。这个奇点该怎么处理?

答案要点:右侧区域的定义范围是 $x$ 较大的一侧,而算出的奇点 $x=-5$ 不在该区域内,属于虚奇点——系统在该区域运动时永远到不了它,该点不是真实平衡点,只用来确定该区域内相轨迹的走向形状。答错说明:若你直接当成平衡点用,分段相平面大题会整题走偏。

9. 两个非线性环节串联,能不能把各自的描述函数相乘得到总的?并联呢?为什么?

答案要点:串联不能相乘(PPT明确:绝不等于两者乘积),因为第二个环节的输入已经是畸变波形,不再是正弦,描述函数的定义前提不成立;必须先合成总特性再求 $N$。并联可以相加,因为两支路输入同为正弦,基波可直接叠加。答错说明:说明你把描述函数当成了传递函数用,忘了它成立的前提是"输入是正弦"。

10. 若某系统的线性部分是 $G(s)=s$(纯微分),还能用描述函数法吗?为什么?

答案要点:不能(或结论不可信)。描述函数法要求线性部分具有良好的低通滤波特性,而纯微分环节高频段幅值随 $\omega$ 上升,不但不滤高次谐波反而放大它们,"只留基波"的近似基础崩溃。答错说明:说明四个前提条件对你还只是四句话,没有变成判断力。

知识地图

向前串(本讲依赖前面什么) - 第2章微分方程与小偏差线性化 → 本讲第3节的泰勒展开、增量方程,以及相平面法中"奇点附近线性化"的整套操作,都是它的延续。 - 第2章结构图 → 描述函数法要求系统能化成"非线性环节 NL + 线性 $G(s)$ + 单位负反馈"的标准结构,靠的是结构图等效变换的功夫。 - 第3章时域分析、特征根与响应形式的对应(实部管收敛发散、虚部管振不振荡) → 直接决定相平面六种奇点的分类,是 7.4 那张表的唯一来源。 - 第3章稳定性概念 → 本讲用来做对照:线性稳定性是固有属性,非线性不是。 - 第5章 频率特性 $G(j\omega)$、奈氏曲线、奈氏判据、临界点 $(-1,j0)$、低通滤波 → 描述函数法就是它们整套的推广:$N(A)$ 推广 $G(j\omega)$,$-1/N(A)$ 曲线推广临界点,广义奈氏判据推广奈氏判据。第5章没学扎实,第8章的描述函数法学不动。 - 数学前置:傅里叶级数(拆谐波)、泰勒展开、复数的两种表示、定积分、变量分离解微分方程。本讲已就地补到够用。

横向串(本讲内部的关系) - 描述函数法(频域视角)与相平面法(时域视角)是同一批现象的两种看法: - 频域的"$G(j\omega)$ 与 $-1/N(A)$ 的稳定交点" ⟷ 时域相平面的"稳定极限环",两者都是自振; - 频域的"$-1/N$ 曲线分段落在稳定区/不稳定区" ⟷ 时域的"初值小则收敛于零、初值大则收敛于自振",两者都是稳定性依赖初始条件; - PPT幻灯片10 那个"等效增益随幅值变化导致振荡"的例子,是这两种描述共同的物理原型。 - 等效增益(8.1) → 描述函数(8.2) 是同一思想的粗糙版与精细版:前者是瞬时比值 $f(x)/x$,后者是一整个周期上按基波取的平均等效增益。

向后串 - 第19讲:用典型例题把这两把工具练成手艺(求描述函数、读图判自振、分区画相轨迹)。 - 考试:据 26北方工业大学专业课考点分析_p001.md,"非线性系统分析"是七道大题方向之一,选择题也常涉及;p009.md 记录真题为"非线性判断是否存在自振、稳定区域和不稳定区特定点的稳定性(直接给出G(jw)和非倒描述函数的图像)"(原文"非倒"应为"负倒"),并高亮"非线性求特定点的稳定性和振幅"。复习重心应放在第6节的读图判别与振幅频率求解上。

本页涉及的知识点（点进去看它还在哪儿讲过 / 考过）

相平面法与相轨迹奇点与奇线自振（自激振荡）描述函数法非线性特性（死区/饱和/间隙/继电）微分方程建模负倒描述函数曲线频率特性（幅频/相频）自然频率与阻尼振荡频率奈奎斯特稳定判据

第18讲 非线性系统:它凭什么要单开一章