第11讲　第五章（二）：奈氏判据、稳定裕度、频域指标与三频段

读法建议：这一讲是整个第五章最值钱也最容易假懂的一讲。第10讲教的是"怎么把开环传递函数画成图"，这一讲教的是"看着这张图，怎么说出系统稳不稳、好不好"。

全讲一共四块：①奈氏判据（判稳）②稳定裕度（判"稳得有多富余"）③频域指标和时域指标怎么对应 ④三频段。四块里前两块是考试主战场，后两块是概念题/综合题。

第一遍看不懂很正常。最容易卡死的三个地方我已经标了【难点】——卡住就停在那一段反复读，别硬往下冲。

0. 开讲前：把这一讲要用的旧词全部翻译一遍

老师默认你第10讲全会了。你很可能没全会。这一节把本讲会反复出现的词用大白话过一遍，读完这节再往下，否则后面每句话都是天书。

0.1 频率特性是什么（一句话版）

给系统输入一个正弦波（像 \(r(t)=A\sin\omega t\) 那样上下摆动的信号，\(\omega\) 是摆动的快慢，叫角频率，单位 rad/s），稳定的线性系统输出的也是同频率的正弦波，只是两件事变了：

• 幅值变了：输出的摆动幅度是输入的多少倍 → 这个倍数叫幅值（幅频特性），记作 \(A(\omega)=|G(j\omega)|\)。
• 时间上错开了：输出的波峰比输入晚到（或早到）一点，换算成角度 → 叫相角（相频特性），记作 \(\varphi(\omega)=\angle G(j\omega)\)。晚到就是负角度。

把这两件事随 \(\omega\) 变化的规律合起来，就叫频率特性 \(G(j\omega)\)。

【补前置】为什么写成 \(G(j\omega)\)？ 传递函数是 \(G(s)\)，\(s\) 是拉氏变换里的复变量。把 \(s\) 换成 \(j\omega\)，传递函数就变成频率特性——这是一条可以直接背下来当工具用的换法。\(j\) 就是数学里的虚数单位 \(i\)（\(j^2=-1\)），工科写 \(j\) 是因为 \(i\) 已经被"电流"占用了。\(G(j\omega)\) 对每一个 \(\omega\) 算出来都是一个复数，复数天然带"大小"和"方向角"两个信息，正好对应"幅值"和"相角"。这就是为什么频率特性可以用一个复数函数装下。

0.2 两张图：奈奎斯特曲线 和 伯德图

同一个 \(G(j\omega)\)，有两种画法：

• 奈奎斯特曲线（奈氏曲线 / 极坐标图 / Nyquist 图）：把 \(\omega\) 从 0 慢慢调到 \(+\infty\)，每个 \(\omega\) 算出一个复数 \(G(j\omega)\)，在复平面上打一个点（横轴实部 Re，纵轴虚部 Im），把点连成线。一条曲线，\(\omega\) 藏在曲线上不显式出现。
• 伯德图（Bode 图 / 对数频率特性）：画两张图，横轴都是 \(\lg\omega\)（取对数，为了让很宽的频率范围都塞得下）。上图纵轴是 \(L(\omega)=20\lg A(\omega)\)（单位分贝 dB），下图纵轴是相角 \(\varphi(\omega)\)（单位度）。

ASR 字幕把"奈奎斯特"念成"南乌斯特/莱布斯特/拿库斯特"等等，正确写法只有"奈奎斯特"（Nyquist）。本讲以下统一写"奈氏"。

【补前置】分贝（dB）和"倍频程/十倍频程（dec）" - \(L=20\lg A\)。\(A=1\) 时 \(L=0\) dB；\(A=10\) 时 \(L=20\) dB；\(A=0.1\) 时 \(L=-20\) dB。所以 "0 dB 线"就是"幅值恰好等于 1"这条线，这一点在本讲会被用无数次。 - dec = decade = 十倍频程，即频率变 10 倍。斜率写成 \(-20\) dB/dec，意思是"频率每涨 10 倍，幅值掉 20 dB（也就是掉到 1/10）"。

0.3 开环、闭环，以及本讲最重要的一句话

• 开环传递函数 \(G(s)H(s)\)：把反馈线剪断，信号从输入端走到反馈信号端，一路上乘的那个总传递函数。它是你手上直接有的、能画图的东西。
• 闭环传递函数：反馈接着时，输出对输入的传递函数，\(\Phi(s)=\dfrac{G(s)}{1+G(s)H(s)}\)。它的分母 \(1+G(s)H(s)=0\) 就是闭环特征方程，它的根决定系统稳不稳。
• 闭环特征根（闭环极点）：闭环特征方程的解。根的实部为负 → 对应响应里的 \(e^{st}\) 衰减 → 稳定；只要有一个根实部为正 → 发散 → 不稳定。 这是整门课的地基。

【补前置】为什么"实部决定衰减、虚部决定振荡"？（地基不能一句带过，这里补三行） 系统的时间响应是由 \(e^{st}\) 这种项拼起来的，\(s\) 是特征根，通常是复数。把它写成 \(s=\sigma+j\omega\)（\(\sigma\) 是实部，\(\omega\) 是虚部），代进去并用欧拉公式 \(e^{j\omega t}=\cos\omega t+j\sin\omega t\)： $\(e^{st}=e^{(\sigma+j\omega)t}=e^{\sigma t}\cdot e^{j\omega t}=e^{\sigma t}(\cos\omega t+j\sin\omega t)\)$ - 前面的 \(e^{\sigma t}\) 是包络（把波形整体撑大或压小的那个"外壳"）：\(\sigma<0\) 时它随时间越来越小 → 波形逐渐消失 = 衰减 = 稳定；\(\sigma>0\) 时越来越大 → 越摆越狠 = 发散；\(\sigma=0\) 时不涨不消 = 等幅振荡（临界）。 - 后面括号里的 \(\cos\omega t+j\sin\omega t\) 只管来回摆，摆的快慢由虚部 \(\omega\) 定，它本身大小恒定，不管衰减。 所以：实部管"活不活得下去"，虚部管"摆得多快"。 这就是"实部为负才稳定"的全部道理。

本讲最重要的一句话（老师在开头反复强调的）：

我们画的永远是开环频率特性曲线，但画它的目的永远是判断闭环系统的性能。

这和第四章根轨迹是同一个套路：用开环信息（开环零极点）画图，读出闭环信息（闭环极点位置）。画图从来不是目的，分析性能才是。

0.4 还会用到的几个词

• 系统的型别（型号）\(\nu\)：开环传递函数分母里 \(s\) 的个数。\(G(s)H(s)=\dfrac{K}{s^\nu(\cdots)}\) 中的 \(\nu\)。\(\nu=0\) 叫 0 型，\(\nu=1\) 叫 I 型（一型），\(\nu=2\) 叫 II 型。
• 积分环节 \(\dfrac{1}{s}\)：在时域里就是"做积分"，即把输入累加起来。它的物理直觉是"有记忆的累加器"：只要输入不是 0，输出就一直往上堆。I 型系统就是开环里含一个积分环节。 【补前置】极点、零点、纯延迟（下一条马上要用，先各给一句大白话）
• 极点：让传递函数分母等于 0 的那些 \(s\) 值。分母为 0 意味着函数值冲到无穷大，所以"极"就是"高得没边"的地方。求法：把分母多项式令为 0 解根。
• 零点：让传递函数分子等于 0 的那些 \(s\) 值，此时函数值为 0。求法：把分子多项式令为 0 解根。（本讲只解释了极点是不够的——1.1 的辐角原理里"零点"和"极点"要成对使用，记混就全错。）

• 纯延迟（延迟环节）：输出把输入原封不动地推迟 \(\tau\) 秒再照搬出来，传递函数是 \(e^{-\tau s}\)。生活例子：水管远端的水温变化要等一段时间才传到你手上。它不改变幅值，只单纯地把相角越拖越负，所以对稳定性只有坏处，是"非最小相位"的典型来源。

• 最小相位系统：开环传递函数的零点和极点全都在 s 左半平面（实部都是负的），且没有纯延迟。通俗说就是"没有藏在右半平面的坏根"。对最小相位系统，\(P=0\)（下面马上要用）。反之只要有一个开环极点或零点在右半平面，就叫非最小相位系统。

• \(P\)：开环传递函数位于 s 右半平面的极点个数。它是"开环自己稳不稳"的度量，\(P=0\) 表示开环稳定。
• \(Z\)：闭环传递函数位于 s 右半平面的极点个数（也就是有几个"坏"的闭环特征根）。\(Z=0\) 才叫闭环稳定，\(Z\) 是几就表示有几个坏根。

1. 奈奎斯特稳定判据（本讲第一主角）

1.1 它到底在干什么

一句话：奈氏判据 = 拿开环频率特性曲线绕不绕 \((-1,j0)\) 这个点、绕了几圈、朝哪个方向绕，来算出闭环有几个坏根。

为什么偏偏是 \((-1,j0)\) 这个点？因为闭环特征方程是 \(1+G(s)H(s)=0\)，也就是 \(G(s)H(s)=-1\)。"\(GH\) 等于 \(-1\)"就是系统临界失稳的那一刻。 复数 \(-1\) 画在复平面上，就是横轴 \(-1\)、纵轴 \(0\) 的那个点，写作 \((-1,j0)\)。所以整个判据都围着这个点转，它不是随便挑的。

【补前置】下一段要用的四个词，先翻译（即便只求"了解"，词也不能裸放）： - 复变函数：自变量和函数值都是复数的函数。我们熟悉的 \(y=x^2\) 是"实数进、实数出"；\(F(s)=1+G(s)H(s)\) 是"复数 \(s\) 进、复数 \(F\) 出"。因为进出都是复数，画不出普通的曲线图，只能用"两个平面"来看：左边一个 s 平面放自变量，右边一个 F 平面放函数值。 - 映射 / 映射曲线：在 s 平面上取一个点，代进 \(F(s)\) 算出一个复数，把它画在 F 平面上——这个"点对点的搬运"就叫映射。若 s 平面上的点连成一条曲线，那么它们在 F 平面上的像也连成一条曲线，后者就叫映射曲线（原曲线的"影子"）。 - 封闭曲线 \(\Gamma_s\)：s 平面上一条首尾相接、圈成一个圈的曲线（\(\Gamma\) 是希腊字母 Gamma，下标 s 表示"画在 s 平面上"）。只有闭合成圈，才谈得上"圈住了里面哪些点"。 - 围道：就是上面那条封闭曲线的另一种叫法，强调它是"沿着走一圈的路线"。奈氏判据里选的围道是"把整个右半平面圈起来"的那一圈（沿虚轴走 + 无穷大半圆兜回来），因为我们关心的坏根正是躲在右半平面里。

【补前置·这一段只求"知道有这么回事"】判据的严格来由是复变函数里的辐角原理：据 PPT 幻灯片 11，若封闭曲线 \(\Gamma_s\) 内包围了 \(F(s)\) 的 \(z\) 个零点和 \(p\) 个极点，则映射曲线绕原点转 \(R=p-z\) 圈。这里取 \(F(s)=1+G(s)H(s)\)，它的零点就是闭环极点，它的极点就是开环极点，而"\(F\) 绕原点"等价于"\(GH\) 绕 \((-1,j0)\)"（幻灯片 13）。这条推导考研基本不要求你复现，你要会的是结论怎么用。但知道"\(Z\) 为什么代表闭环坏根、\(P\) 为什么代表开环坏根"，能防止你把两个字母记反。

1.2 形式一：用完整奈氏曲线

结论（据 PPT 幻灯片 18）：

• \(Z\)：闭环在右半平面的极点数。\(Z=0\) 系统稳定，\(Z\) 是几就是有几个坏根。
• \(P\)：开环在右半平面的极点数（题目给你开环传递函数，数分母的根有几个实部为正即可）。
• \(R\)：完整奈氏曲线逆时针包围 \((-1,j0)\) 的圈数。逆时针记正，顺时针记负。

所以充要条件是：\(R=P\)（逆时针恰好包围 \(P\) 圈）时闭环稳定。 对最小相位系统 \(P=0\)，条件退化成"不包围 \((-1,j0)\) 点就稳定"——这是考试里出现频率最高的情形。

【难点一】什么叫"完整"奈氏曲线？为什么要补一段无穷大圆弧？

难在哪：你在第10讲画的图，是 \(\omega\) 从 \(0\) 到 \(+\infty\) 的那一段。但判据要求的是一条闭合曲线，否则"包围几圈"根本无从谈起。

补法分两步：

1. 补对称的另一半：\(\omega\) 从 \(-\infty\) 变到 \(0\) 那一段，和 \(\omega\) 从 \(0\) 到 \(+\infty\) 那一段关于实轴（横轴）镜像对称。理由：\(G(-j\omega)\) 是 \(G(j\omega)\) 的共轭复数（实部相同、虚部反号），画出来自然就是上下翻转。所以另一半不用算，照镜子画出来即可。
2. 补无穷大圆弧（只有 \(\nu\ge 1\)，即开环含积分环节时才需要）：如果开环含 \(\dfrac{1}{s^\nu}\)，那么 \(\omega\to 0\) 时 \(|G(j\omega)|\to\infty\)，曲线跑到无穷远去了。\(\omega=0^-\) 的那一端和 \(\omega=0^+\) 的那一端在无穷远处断开、对不上。这时要在无穷远处补一段半径为无穷大的圆弧，从 \(\omega=0^-\) 端顺时针转 \(\nu\times 180°\) 接到 \(\omega=0^+\) 端。

【补前置】先补一块复数知识：\(re^{j\theta}\) 是什么意思？（下面这一步是全讲最硬的推导，没有这块前置根本读不下去） - 一个复数有两种等价写法：①代数式 \(a+jb\)——告诉你"横坐标 \(a\)、纵坐标 \(b\)"；②指数式（欧拉形式） \(re^{j\theta}\)——告诉你"从原点出发长度为 \(r\)、方向角为 \(\theta\)"。同一个点，两种描述，就像描述地图上一个位置可以说"东 3 公里北 4 公里"，也可以说"朝东北 53° 方向 5 公里"。 - 所以 \(e^{j\theta}\)（即 \(r=1\) 的情形）就是长度 1、方向角 \(\theta\) 的那个复数，它永远待在单位圆上，\(\theta\) 一变它就在圆上转。\(\varepsilon e^{j\theta}\) 就是"半径 \(\varepsilon\) 的小圆上、角度为 \(\theta\) 的那个点"——这正好描述了绕原点的那段小半圆。 - 指数式的好处：复数相乘时，模（长度）相乘、幅角（方向角）相加。这正是指数的性质：\(r_1e^{j\theta_1}\cdot r_2e^{j\theta_2}=r_1r_2\,e^{j(\theta_1+\theta_2)}\)。 - 由此推两条本讲要用的：取 \(\nu\) 次幂 = 自己乘 \(\nu\) 次 → 模变成 \(\varepsilon^\nu\)、角变成 \(\nu\theta\)；取倒数 → 模变成 \(1/\varepsilon^\nu\)、角变号成 \(-\nu\theta\)（因为 \(\frac{1}{re^{j\theta}}=\frac{1}{r}e^{-j\theta}\)，模的倒数、角的相反数）。角度加负号，几何上就是"转向反过来"：原来逆时针，映射后变顺时针。 这就是下面"角度反号 → 大圆弧是顺时针"的全部来由。

为什么是顺时针、为什么是 \(\nu\pi\)：据 PPT 幻灯片 19-20，\(s=0\) 是 \(GH\) 的极点，围道不能穿过极点，所以在 s 平面上用一个半径 \(\varepsilon\to 0\) 的小半圆从右侧绕过原点，这段小半圆上 \(s=\varepsilon e^{j\theta}\)，\(\theta\) 从 \(-\dfrac{\pi}{2}\) 走到 \(+\dfrac{\pi}{2}\)（逆时针 \(180°\)）；代进 \(\dfrac{1}{s^\nu}\) 得到 \(\dfrac{1}{\varepsilon^\nu}e^{-j\nu\theta}\)——模是 \(1/\varepsilon^\nu\)，\(\varepsilon\to0\) 故幅值趋于无穷大；角变成 \(-\nu\theta\)，正号变负号即转向反过来（逆时针变顺时针），于是映射到 GH 平面上就成了一段半径无穷大、顺时针转 \(\nu\pi\) 的大圆弧。

转录里老师举的例子（I 型系统、\(n-m=3\)）：\(\nu=1\)，所以补 \(180°\) 的顺时针无穷大圆弧，补完曲线就连贯了。

把这两步做完得到的闭合曲线，才叫"完整奈氏曲线"；只有 \(0\to+\infty\) 那半条，叫"半奈氏曲线"。

【你可能会以为】补的那段无穷大圆弧只是"为了好看把线连上"，可有可无。 但其实它常常决定包围圈数，漏掉它答案直接错。 因为这段圆弧本身可能就绕过了 \((-1,j0)\) 点的左边或右边，把包围次数改掉。为什么它不是可选项：判据的数学前提是"围道必须是闭合曲线且不穿过极点"，\(s=0\) 恰好是极点，绕过它产生的映射就是这段圆弧——它是推导的一部分，不是画图的装饰。

【你可能会以为】\(Z\) 就是"不稳定程度"，\(Z\) 越大越不稳。 但其实 \(Z\) 是"右半平面闭环极点的个数"，是个整数计数，不是程度。 \(Z=1\) 和 \(Z=2\) 都是不稳定，谈不上谁"更不稳"。真正衡量"稳得多富余/多勉强"的是第 2 节的稳定裕度。

1.3 形式二：用半奈氏曲线（考试更常用）

如果懒得补出完整曲线，可以只用 \(\omega:0\to+\infty\) 的半条，代价是圈数要折半，并且改用"穿越"来数。

穿越的定义（据 PPT 幻灯片 27、29）：曲线穿过负实轴上 \((-\infty,-1)\) 这一段（即 \((-1,j0)\) 点以左的负实轴）的现象叫穿越。

• 正穿越 \(N_+\)：从上往下穿（相角增大的方向）。
• 负穿越 \(N_-\)：从下往上穿（相角减小的方向）。
• 半次穿越：曲线起于或止于 \((-1,j0)\) 以左的负实轴，算 \(\pm 0.5\) 次。

判据（据 PPT 幻灯片 28-29）：\(\omega\) 从 \(0\) 变到 \(+\infty\) 时

对最小相位系统（\(P=0\)）：正负穿越次数之差为 0，系统稳定。

【难点二】为什么只数 \((-1,j0)\) 点"以左"的穿越？穿在 \(-1\) 右边（比如穿在 \(-0.5\) 处）算不算？

难在哪：这条限制看起来很随意，容易被当成"记住就行"，一到题里就数错。

正确理解：判据数的本质是"曲线绕不绕 \((-1,j0)\) 点"。你想象从 \((-1,j0)\) 点沿负实轴向左画一条射线到 \(-\infty\)，这条射线就是一把"计数闸门"——闭合曲线要把 \((-1,j0)\) 点圈进去，就必须穿过这条射线；穿在 \(-1\) 右边（如 \(-0.5\) 处）的那种穿过，只是从点的同一侧进出，对"绕不绕"没有任何贡献。所以：穿在 \(-1\) 左边才计数，穿在 \(-1\) 到 0 之间不计数。

方向的记法也不用死背：逆时针包围必然表现为从上往下穿越 \(-1\) 左侧（这正是 PPT 幻灯片 27 的原话逻辑），而逆时针包围是"好方向"（对应 \(R\) 为正），所以从上往下 = 正穿越。

【你可能会以为】"半奈氏曲线"和"完整奈氏曲线"是两套不同的判据，得分别记。 但其实是同一件事的两种记账方式。 完整曲线数"包围圈数 \(R\)"，半条曲线数"穿越次数之差 \(N\)"，而 \(R=2N\)（因为另外一半是镜像，贡献完全相同的一份），所以 \(R=P\) 就等价于 \(N=P/2\)。想通这一点，两个公式只需要记一个。

1.4 在伯德图上用奈氏判据

奈氏图和伯德图是同一个 \(G(j\omega)\) 的两种画法，所以判据必须能互相翻译。翻译只有两条（第一行"单位圆 ↔ 0 dB 线"据 PPT 幻灯片 32；后两行的 \(-180°\) 线与 \(L>0\) 区间内的穿越据幻灯片 33、34）：

于是：

伯德图形式的判据（据 PPT 幻灯片 34-35）：\(\omega\) 从 \(0\) 到 \(+\infty\)，在 \(L(\omega)>0\) 的所有频段内，数相频曲线对 \(-180°\) 线的正负穿越次数之差 \(N=N_+-N_-\)，则

\(Z=0\) 稳定，\(Z\) 为几就有几个正实部闭环特征根。 相角增大方向的穿越为正穿越，反之为负穿越。

含积分环节时的补画规则（据 PPT 幻灯片 34）： 若开环 \(G(s)H(s)\) 含 \(\nu\) 个积分环节，则在对数相频曲线上，\(\omega\to 0^+\) 处要向上补画一条虚线，长度为 \(\nu\times 90°\)（PPT 写作 \(\nu\cdot\dfrac{\pi}{2}\)），把 \(\varphi(0^-)\) 和 \(\varphi(0^+)\) 连起来，然后这段虚线上的穿越也要计数。这正是奈氏图上那段无穷大圆弧在伯德图里的化身。

【纠错·转录口误】转录第 36 段说"如果闭环传递函数当中含有了积分环节…"——应为开环。我们画的是开环对数频率特性，补虚线看的当然是开环里的积分环节。PPT 幻灯片 34 写的是 \(G(s)H(s)\)（开环），以 PPT 为准。

PPT 幻灯片 35 的例子可以当模板记： \(P=0\)，\(L>0\) 的区间内 \(N_+=1\)、\(N_-=2\)，于是 \(N=1-2=-1\)，\(Z=P-2N=0-2\times(-1)=2\)，闭环有 2 个正实部特征根，不稳定。

老师提示：两种形式都可以用，但考试重点考第一种，即画出奈氏曲线来判稳。伯德图这套主要在"给你一张伯德图问稳不稳"时用。【存疑·待核：老师说"重点在于考察第一种"，这是他对全国普遍情况的经验判断，我在本校考点分析材料里没有查到对应的明确统计，不能当成北方工大的确定命题规律。北方工大材料里能查到的是《考点分析》p006 第 20 条"Bode 图很喜欢考…求相角裕度和幅值裕度考察的也挺多"，以及 p008 题型表 T7 涉及"绘制 BODE 图并求截止频率、稳态误差、相角裕度"——就本校而言，伯德图和裕度的分量反而更重。】

2. 稳定裕度（相对稳定性）

2.1 为什么还要一个"裕度"

奈氏判据只回答"稳/不稳"这个是非题。但工程上两个都稳定的系统，可能一个稳得很扎实，另一个只差一点点就要发散（曲线擦着 \((-1,j0)\) 点过）。参数稍微一漂移，后者就完蛋。所以要有一个量，回答"离失稳还有多远"。这个量就叫稳定裕度（稳定裕量），衡量的是相对稳定性。

适用前提（据 PPT 幻灯片 45，务必记）：稳定裕量的概念只适合于开环稳定的系统；它本身是基于奈氏判据成立的。

裕度有两个：相角裕度 \(\gamma\) 和 幅值裕度 \(k_g\)（或写 \(h\)）。它们分别从"角度方向"和"幅值方向"量"离 \((-1,j0)\) 点还有多远"。

【纠错·转录口误】转录第 60 段说"幅值裕度和相角裕度衡量的是控制系统的相对稳定性，也就是稳态精度"——后半句是错的。裕度衡量的是相对稳定性（平稳性），和稳态精度（稳态误差）完全是两回事；稳态精度由伯德图的低频段决定（见第 4 节）。这两个不能混，混了综合题必错。

2.2 相角裕度 \(\gamma\)

先要有截止频率（也叫开环剪切频率）\(\omega_c\)：

这式子在说什么：找那个让开环幅值恰好等于 1 的频率。\(|\cdot|\) 是复数取模（即幅值）。几何意义：奈氏曲线和单位圆的交点处的频率；伯德图上就是幅频曲线穿过 0 dB 线处的频率。怎么用：解这个方程（伯德图上用折线渐近线解更快，见 2.4）。

然后：

这式子在说什么：在截止频率处，系统的相角离 \(-180°\)（临界失稳的那条线）还差多少度。符号含义：\(\varphi(\omega_c)\) 是截止频率处的开环相角，通常是负值（比如 \(-135°\)），代进去得 \(\gamma=45°\)。怎么用：先求 \(\omega_c\)，再把 \(\omega_c\) 代进相频表达式算 \(\varphi(\omega_c)\)，最后加 180°。

几何意义：奈氏图上，从负实轴逆时针扫到"曲线与单位圆交点"那条向量所转过的角度。据 PPT 幻灯片 40，以负实轴为基准，逆时针扫过为正，顺时针扫过为负；\(\gamma>0\) 系统稳定，\(\gamma<0\) 系统不稳定。

物理意义（PPT 幻灯片 39 的定义原话精神）：在剪切频率处，还要再额外增加多少滞后相角，闭环才会达到临界稳定。所以 \(\gamma\) 越大，越"经得起折腾"，稳定性越好。

【难点三】为什么"再多滞后 \(\gamma\) 度"就会失稳？

难在哪：这是把"角度"和"发散"联系起来，零基础看不出因果。

正确理解（PPT 幻灯片 46 的直观解释）：在 \(\omega_c\) 处开环幅值本来就是 1。若相角再退 \(\gamma\) 度变成整 \(-180°\)，那么反馈信号相对输入正好差半个周期。而负反馈本身还要再取一次反号（又是 \(180°\)），两次一叠加，"负反馈"就变成了"正反馈"：信号绕一圈回来不但不抵消，反而同相叠加。此时幅值又是 1（回来的和原来一样大），系统就会自己维持甚至放大振荡——这就是失稳。所以 \(-180°\) 加幅值 1 是临界点，\((-1,j0)\) 就是它在复平面上的坐标。这一段想通了，整个第五章的"为什么盯着 \((-1,j0)\)"就通了。

2.3 幅值裕度 \(k_g\)

先要有相位穿越频率 \(\omega_g\)（也叫相角交界频率）：

这式子在说什么：找那个让开环相角恰好等于 \(-180°\) 的频率。几何意义：奈氏曲线与负实轴的交点处的频率；伯德图上是相频曲线与 \(-180°\) 线的交点。怎么用：写出相频表达式令其等于 \(-180°\) 解出 \(\omega_g\)（实用技巧见 2.4）。

然后：

这式子在说什么：在 \(\omega_g\) 处，开环增益还可以放大多少倍，才会正好碰到 \((-1,j0)\) 点。符号含义：分母是奈氏曲线与负实轴交点到原点的距离 \(d\)。怎么用：\(k_g>1\) 系统稳定，\(k_g<1\) 不稳定（PPT 幻灯片 41）。转录里老师说的"\(d\) 越小、它的倒数越大、幅值裕度越大、稳定性越好"，就是这个意思。

对数（dB）形式（PPT 幻灯片 42），考试常用：

\(k_g>0\) dB 稳定，\(k_g<0\) dB 不稳定。 在伯德图上，它就是 \(\omega_g\) 处幅频曲线到 0 dB 线的距离（曲线在 0 dB 线下方时为正）。

【你可能会以为】幅值裕度只有一种写法，题目问"幅值裕度"就报一个数。 但其实有两种给定形式：倍数形式 \(k_g\)（判据是与 1 比）和分贝形式 \(k_g\) dB（判据是与 0 比）。 转录里老师专门提醒"要注意幅值裕度的两种给定形式，不同的题有不同的要求"——尤其校正题里几乎都用 dB 形式。看清题目要哪种，别把 6 dB 写成 6 倍（6 dB 其实约等于 2 倍）。

2.4 实际怎么算（考试技巧）

• 求 \(\omega_c\)：直接在奈氏图上找单位圆交点非常难算。转到伯德图上算：用折线渐近线（第10讲画伯德图时那些直线段）写出穿过 0 dB 线那一段的直线方程，令 \(L(\omega)=0\) 解出 \(\omega\)。这就是转录说的"利用折线方程计算穿越零分贝线的频率"。注意这样求的是渐近线的截止频率，是工程近似。
• 求 \(\omega_g\)：令相频表达式 \(=-180°\) 解方程。另一条常用路子（PPT 幻灯片 17 提示）：把 \(G(j\omega)\) 分母有理化，分成实部和虚部，令虚部 = 0 解出 \(\omega\)（虚部为零就落在实轴上），再把这个 \(\omega\) 代回实部得到交点坐标（PPT 例 2 里算出交点是 \(-7.9\)）。

【补前置】"分母有理化"到底怎么做？ 它是一个具体的代数动作：分子分母同时乘以分母的"共轭复数"。共轭复数就是把虚部的符号翻过来（\(a+jb\) 的共轭是 \(a-jb\)）。为什么这么乘管用？因为 \((a+jb)(a-jb)=a^2-(jb)^2=a^2+b^2\)——乘积里 \(j\) 全部消失了，分母变成一个纯实数，于是整个式子就能干净地写成"实数 + j×实数"的形状，实部虚部一眼可分。 最小示例（两行）： $\(\frac{1}{1+j\omega}=\frac{1\cdot(1-j\omega)}{(1+j\omega)(1-j\omega)}=\frac{1-j\omega}{1+\omega^2}=\underbrace{\frac{1}{1+\omega^2}}_{\text{实部}}+j\underbrace{\left(\frac{-\omega}{1+\omega^2}\right)}_{\text{虚部}}\)$ 接着"令虚部 = 0"就是解 \(\dfrac{-\omega}{1+\omega^2}=0\)，得 \(\omega=0\)——说明这个一阶系统只在 \(\omega=0\) 处落在实轴上（曲线不与负实轴相交，也就没有 \(\omega_g\)）。真题里分母是二阶三阶时，虚部会是 \(\omega\) 的多项式，令它为 0 才解得出非零的 \(\omega_g\)。这个方法在非线性系统那一章求自振点时还要再用一次，务必练熟。

2.5 两个裕度的关系与工程取值（第 1-4 条据 PPT 幻灯片 44；适用前提与 \(\omega_c\) 处斜率要求在幻灯片 45）

1. \(\gamma\) 和 \(k_g\) 都表示奈氏图对 \((-1,j0)\) 点的靠近程度，是动态指标的衡量。
2. 对最小相位系统，只有 \(\gamma>0\) 且 \(k_g>1\) 时系统才稳定。
3. 裕度一般要两者同时使用：单独用某一个有时反映不了真实的稳定程度。只有当剪切频率处相角变化比较缓慢时，才可以单独用 \(\gamma\)。
4. 工程上一般要求 \(\gamma=30°\sim 60°\)，\(k_g>6\) dB（这一条是幻灯片 44 的第 4 条，逐字一致）；且要求 \(\gamma\) 在 \(30°\sim60°\) 时，剪切频率 \(\omega_c\) 处的斜率应为 \(-20\) dB/dec（\(-40\) dB/dec 就危险了）。【据 PPT 并按教材补：幻灯片 45 该处文本符号残缺，只剩"\(40dB/dec\)"，正负号与前面的比较符号丢失；此处按教材通行结论写作"应为 \(-20\) dB/dec、\(-40\) 危险"，不是 PPT 逐字原文。】

据 PPT 幻灯片 46，实际应用中提高稳定裕量的方法有两条：

(1) 减小开环放大倍数 \(K\) 值。 直观理解：\(K\) 变小 → 整条奈氏曲线按比例缩小（伯德图上整条 \(L(\omega)\) 平行下移）→ 离 \((-1,j0)\) 点更远、\(\omega_c\) 左移，相角裕度变大。代价是稳态误差变大（\(K\) 管的是"准"，见第 4 节低频段），所以这是一种"用精度换平稳"的折中。

(2) 错开各环节的时间常数。 【补前置】时间常数就是惯性环节 \(\dfrac{1}{Ts+1}\) 里的 \(T\)，它对应伯德图上的转折频率 \(\omega=1/T\)（曲线在这里开始变陡、相角开始往下掉）。如果几个惯性环节的 \(T\) 差不多，它们的转折频率挤在同一处，各自贡献的滞后相角（每个最多 \(-90°\)）就在同一个频段里叠加，\(\omega_c\) 处的总相角很容易被一起拽到 \(-180°\) 附近，\(\gamma\) 就没了。把各环节的 \(T\) 拉开（转折频率彼此远离），滞后就分散到不同频段发生，\(\omega_c\) 处只被其中一两个环节影响，相角不至于掉那么狠，裕度自然变大。

这两条是"在原有元件上小修小补"；真正系统性的改善手段是第六章的校正（另加超前/滞后网络）。

3. 频域指标与时域指标的对应关系

这一块是概念/综合题的考点：同一个系统的好坏，时域用一套词描述，频域用另一套词描述，两套词必须能对上。

3.1 对照表（据转录归纳，公式据 PPT 幻灯片 56、60、62、63）

【补前置】表里的时域指标，逐个用大白话过一遍（都是第三章的词，久没碰一定忘了）。想象给系统一个"从 0 突然跳到 1"的阶跃输入，输出会先冲过头、来回摆几下，最后停在某个值： - 超调量 \(\sigma\%\)：输出冲过头的最高点比最终稳定值高出多少，用百分比表示。冲过头 20% 就是 \(\sigma\%=20\%\)。它衡量"稳不稳当（平稳性）"。 - 上升时间 \(t_r\)：输出第一次从低处爬到稳定值所用的时间（教材常取 0→100% 或 10%→90%）。衡量"起步快不快"。 - 峰值时间 \(t_p\)：从起始到冲到那个最高点所用的时间。 - 调节时间 \(t_s\)：输出摆动幅度最终缩进稳定值的 \(\pm5\%\)（或 \(\pm2\%\)）带子里、并且不再出来，所需要的时间。它是"多久算安定下来了"，衡量整体快速性。 - 稳态误差 \(e_{ss}\)：时间足够久之后，输出与期望值之间剩下的那个固定差额（下标 ss = steady state 稳态）。它衡量"准不准"。 - 阻尼比 \(\zeta\)、自然频率 \(\omega_n\) 的解释见 3.2 节开头。

定性关系（转录原话要点转述）： - 提高相角裕度 \(\gamma\)，可以降低超调量和谐振峰值，从而改善相对平稳性。 - 三个时间指标短 ↔ 三个频率指标大。频率越高，响应越快。

【补前置】谐振峰值 \(M_r\) 和谐振频率 \(\omega_r\) 是什么？ 把闭环幅频特性 \(|\Phi(j\omega)|\) 画出来，它通常在某个频率处鼓起一个包。包的最高点的高度叫谐振峰值 \(M_r\)，对应的频率叫谐振频率 \(\omega_r\)。 直觉：系统在这个频率附近"特别兴奋"，输入一点点就放大很多——峰越尖，说明系统越"神经质"，阻尼越小，越容易振荡。

【补前置】带宽频率 \(\omega_b\) 是什么？ 闭环幅频特性从低频往高频掉，掉到 \(M(\omega_b)=0.707\,M(0)\)（即比低频值低 3 dB）时的那个频率，叫带宽频率。直觉：\(\omega_b\) 以内的输入信号系统跟得上，以外的被衰减掉了。 所以 \(\omega_b\) 大 → 跟得上更快的信号 → 快速性好；但同时高频噪声也更容易进来（PPT 幻灯片 60：\(\omega_b\) 越大，高频进入的可能性越大，要综合考虑）。据 PPT 幻灯片 61，若输入信号带宽为 \(0\sim\omega_M\)，则应取 \(\omega_b=(5\sim10)\omega_M\)。

3.2 二阶系统的精确对应公式（\(M_r\) 据 PPT 幻灯片 56，\(\omega_b\) 据幻灯片 60，\(\omega_c\) 与 \(\gamma\) 据幻灯片 62）

【补前置】阻尼比 \(\zeta\) 和自然频率 \(\omega_n\) 是什么？（下面三个公式的输入变量全是它俩，不解释等于白给） 典型二阶系统的闭环传递函数写成 \(\Phi(s)=\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}\)，里面只有两个参数： - 阻尼比 \(\zeta\)（读 zeta）：衡量"刹车力度"。类比推一下弹簧振子：没有阻力（\(\zeta=0\)）就永远来回摆；阻力小（\(0<\zeta<1\)，欠阻尼）会摆几下再停，\(\zeta\) 越小摆得越凶、超调越大；阻力大（\(\zeta\ge1\)）干脆不摆，慢慢爬到位。所以 \(\zeta\) 直接管平稳性，是"\(\sigma\%\) 大不大"的根源。它是没有单位的纯数。 - 自然频率（无阻尼振荡频率）\(\omega_n\)：衡量"系统本身有多快"，即完全没有阻尼时它自己摆动的角频率，单位 rad/s。\(\omega_n\) 越大，同样的形状走得越快，\(t_r,t_p,t_s\) 都按比例缩短。 一句话记：\(\zeta\) 定"形状（摆不摆、超调多大）"，\(\omega_n\) 定"节奏（多快走完这个形状）"。 下面的公式正是把这两件事翻译成频域语言。

对典型二阶系统（自然频率 \(\omega_n\)、阻尼比 \(\zeta\)）：

在说什么：谐振峰的高度只由阻尼比决定。\(\zeta\) 越小分母越小，\(M_r\) 越大，越爱振荡。\(\zeta>0.707\) 时不出现峰（PPT 幻灯片 57：\(\zeta\ge 0.707\) 时 \(M_r=1\) 无峰值，超调量 \(\sigma\%\le 4.3\%\)）。

这三个式子在说什么：\(\omega_b\)、\(\omega_c\) 都正比于 \(\omega_n\)（所以都反映快速性）；\(\gamma\) 只和 \(\zeta\) 有关（所以 \(\gamma\) 反映阻尼程度）。怎么用：这三个式子不用背推导，用途是"已知二阶系统的 \(\zeta,\omega_n\) 求频域指标"或反过来。考试若考，一般会给式子或只考定性趋势（\(\zeta\uparrow\Rightarrow\gamma\uparrow\)）。

3.3 高阶系统的经验公式（据 PPT 幻灯片 63）

高阶系统没有精确对应，用经验公式：

【难点·单位坑，必看】第二个式子算出来的是"小数形式"的超调量，不是百分数。 PPT 幻灯片 63 上写的符号是超调量，但等号右边 \(0.16\) 表示的是 16%，不是 0.16%。所以正确读法是：\(\sigma=0.16+0.4(M_r-1)\) 得到一个小数，再乘 100 才是百分数。 数值例子：设 \(\gamma=45°\)，则 \(M_r=\dfrac{1}{\sin45°}=\dfrac{1}{0.707}\approx1.41\)（落在 \(1\sim1.8\) 的适用范围内），代入得 \(\sigma=0.16+0.4\times(1.41-1)=0.16+0.164=0.324\) → 超调量约 32%。若写成"32.4% 的 0.324%"就差了 100 倍，阅卷直接算错。 自查口诀：这条经验公式的结果，凡是小于 1 的数，一律当"几十个百分点"读。

在说什么：第一个式子说相角裕度越小，谐振峰越高；第二个说峰越高超调越大；第三个说调节时间反比于截止频率（\(\omega_c\) 越大越快）。注意适用范围写在括号里，超出范围这些经验公式不成立，答题时最好把范围一起写上。

4. 三频段（开环对数幅频特性的分段读法）

这是频域法里最"工程"的一段，也是通往第六章校正的桥梁。把开环对数幅频特性 \(L(\omega)\) 从左到右分成三段：

低频段——决定稳态精度

低频段是过 \(\omega=1\)、纵坐标 \(20\lg K\) 那一点、斜率为 \(-20\nu\) dB/dec 的直线（\(\nu\) 是系统型别，\(K\) 是开环增益）。

这两个数字不是背的，一行就能推出来（别跳步，跟着算）： 低频就是 \(\omega\) 很小的时候。此时开环里那些惯性环节 \(\dfrac{1}{Ts+1}\) 中的 \(T\omega\) 远小于 1，整个括号 \(\approx1\)，可以全部忽略，于是 $\(G(j\omega)H(j\omega)\approx\frac{K}{(j\omega)^\nu}\ \Longrightarrow\ A(\omega)=|G H|\approx\frac{K}{\omega^\nu}\)$ 取对数幅值（\(L=20\lg A\)，用到对数的两条基本性质：\(\lg\frac{a}{b}=\lg a-\lg b\)，\(\lg a^\nu=\nu\lg a\)）： $\(L(\omega)=20\lg\frac{K}{\omega^{\nu}}=20\lg K-20\nu\lg\omega\)$ 这就是一条以 \(\lg\omega\) 为横坐标的直线（伯德图横轴正是 \(\lg\omega\)）。读它的两个特征： - 截距：令 \(\omega=1\)，\(\lg 1=0\)，代入得 \(L=20\lg K\)。所以直线在 \(\omega=1\) 处的高度就是 \(20\lg K\)——量出这个高度就能反推 \(K\)。 - 斜率：\(\lg\omega\) 每增加 1（即频率变成 10 倍，走过 1 个 dec），\(L\) 就减少 \(20\nu\)。所以斜率是 \(-20\nu\) dB/dec——数一下这段斜率是 \(-20\) 还是 \(-40\)，就知道 \(\nu=1\) 还是 \(2\)。

为什么低频段管稳态精度：稳态误差由开环增益 \(K\) 和型别 \(\nu\) 决定（第三章结论），而这两个东西在伯德图上恰恰全部写在低频段的高度和斜率里——高度给你 \(K\)，斜率给你 \(\nu\)。所以据 PPT 幻灯片 59：低频段决定系统的稳态性能，希望越高越陡越好（高 = \(K\) 大，陡 = 型别高，两者都让稳态误差更小）。

【符号提醒】转录里老师口述低频段斜率时用了"负 20 乘以伽马，伽马是系统的类型"。这里的字母和相角裕度 \(\gamma\) 撞车了，本讲统一写成 \(-20\nu\)，\(\nu\) 是型别。别把型别和相角裕度混成一个符号。

中频段——决定平稳性和快速性

中频段是包含 \(\omega_c\) 的那一段。要求：以 \(-20\) dB/dec 的斜率穿过 0 dB 线，并且这一段要有足够的宽度。

• 为什么要 \(-20\) 穿越：先说清"斜率为什么能反映相角"——一段 \(-20\) dB/dec 的直线，说明这一带的幅值按 \(1/\omega\) 的规律下降，即这一段主要由积分型环节 \(\dfrac{1}{s}\) 在主导；而 \(\dfrac{1}{j\omega}\) 的相角是恒定的 \(-90°\)（分母是纯虚数、方向角 \(+90°\)，取倒数角度变号即 \(-90°\)，与 \(\omega\) 无关）。同理 \(-40\) dB/dec 对应 \(\dfrac{1}{(j\omega)^2}\) 主导，相角约 \(-180°\)。所以：\(-20\) dB/dec 对应的相角大约 \(-90°\)，相角裕度就有约 \(90°\)，很富余；若以 \(-40\) dB/dec 穿越，相角接近 \(-180°\)，\(\gamma\) 就所剩无几，系统会很振荡。这与 2.5 节 PPT 幻灯片 45 的要求完全对应。
• 为什么中频段要宽：宽度不够的话，两侧的陡斜率会把 \(\omega_c\) 附近的相角拽下去，\(\gamma\) 保不住。转录提到常见形状是"\(-20\)、\(-40\) 衔接"的组合：与低频段衔接是 \(-40\)，中间 \(-20\) 穿越 0 dB，再与高频段衔接回 \(-40\)。
• \(\omega_c\) 越大 → 带宽越大 → 快速性越好。

高频段——决定抗干扰能力

据 PPT 幻灯片 59：高频段决定系统的抗干扰能力，希望衰减得越快越好，即斜率越陡越好。原因：实际输入信号是低频的，噪声是高频的（PPT 幻灯片 61）。高频段掉得越狠，高频噪声被压得越死。

【你可能会以为】三个频段的要求可以同时都拉满：低频越高越陡、中频越宽、高频越陡。 但其实它们互相打架，必须折中。 例如低频段抬高 \(K\) 会把整条曲线上移、\(\omega_c\) 右移，可能破坏中频段的 \(-20\) 穿越；带宽 \(\omega_b\) 拉大提高了快速性，却让更多高频噪声进来（PPT 幻灯片 60 明确写"要综合考虑"）。第六章的校正，本质上做的就是这个折中。

5. 这一讲的骨架（真正要带走的）

1. 画的永远是开环图，判的永远是闭环性能。 这句话统一了第四章根轨迹和第五章频域法。
2. 奈氏判据盯的是 \((-1,j0)\) 点，因为闭环特征方程 \(1+GH=0\) 即 \(GH=-1\)。
3. 完整曲线：\(Z=P-R\)，\(R\) 是逆时针包围圈数（顺时针为负），\(Z=0\) 稳定。
4. 半条曲线：\(N_+-N_-=P/2\) 稳定；最小相位系统（\(P=0\)）正负穿越之差为 0 即稳定。只数 \((-1,j0)\) 以左的穿越。
5. 伯德图：在 \(L(\omega)>0\) 的频段内数对 \(-180°\) 线的穿越，\(Z=P-2N\)。开环含 \(\nu\) 个积分环节时，相频曲线 \(\omega\to0^+\) 处补 \(\nu\times 90°\) 虚线且计入穿越。
6. 开环含积分环节时，奈氏图要补顺时针 \(\nu\times180°\) 的无穷大圆弧才叫"完整"。
7. 裕度回答"离失稳还有多远"（前提：开环稳定）。
8. \(\gamma=180°+\varphi(\omega_c)\)，\(\omega_c\) 由 \(|GH|=1\)（0 dB 线）定；\(\gamma>0\) 稳定。
9. \(k_g=1/|G(j\omega_g)H(j\omega_g)|\)，\(\omega_g\) 由 \(\varphi=-180°\) 定；\(k_g>1\)（或 dB 形式 \(>0\)）稳定。两种形式别搞混。
10. 工程值：\(\gamma=30°\sim60°\)，\(k_g>6\) dB，\(\omega_c\) 处斜率 \(-20\) dB/dec。
11. 裕度衡量平稳性，不是稳态精度；稳态精度看低频段。
12. 三频段：低频管准、中频管稳和快、高频管抗噪，三者互相牵制要折中。

诚实说难度：奈氏判据第一遍看不懂是绝对正常的，它是本课程里为数不多需要复变函数背景的结论。卡点通常在两个地方：①为什么是 \((-1,j0)\)（回去看 2.2 的【难点三】，把"相角退到 \(-180°\) 加幅值 1 就是正反馈自激"想通）②包围/穿越怎么数（回去看 1.3 的【难点二】的"计数闸门"比喻）。这两处想通了，剩下都是套公式。

6. 自测（戳穿假懂版）

第 1 题　某系统开环传递函数 \(G(s)H(s)=\dfrac{K}{(T_1s+1)(T_2s+1)}\)，\(K,T_1,T_2>0\)。它的完整奈氏曲线不包围 \((-1,j0)\) 点。问闭环稳不稳？如果把它改成 \(G(s)H(s)=\dfrac{K}{s(T_1s+1)(T_2s+1)}\)，你画图时必须多做哪一步？

答案要点：第一问 \(P=0\)（两个开环极点 \(-1/T_1,-1/T_2\) 都在左半平面），\(R=0\)，\(Z=P-R=0\)，稳定（这正是 PPT 幻灯片 16 的例 1）。第二问：分母多了一个 \(s\)，\(\nu=1\)，\(\omega\to0\) 时曲线跑向无穷远且两端断开，必须补一段半径无穷大、顺时针转 \(180°\) 的圆弧才能得到完整奈氏曲线。 答错说明你卡在哪：第一问错 → \(Z=P-R\) 里 \(P\) 和 \(Z\) 记反了，回 0.4 节。第二问漏了补圆弧 → 你把补圆弧当成了"美化"，回【难点一】。

第 2 题　某最小相位系统的半奈氏曲线，在 \(-3\) 处从上往下穿了一次负实轴，在 \(-0.5\) 处从下往上穿了一次。问系统稳不稳？

答案要点：最小相位 → \(P=0\)。只数 \((-1,j0)\) 以左的穿越：\(-3\) 在 \(-1\) 左边，从上往下 → 正穿越，\(N_+=1\)；\(-0.5\) 在 \(-1\) 右边，不计数。所以 \(N=N_+-N_-=1\ne P/2=0\)，不稳定。 答错说明你卡在哪：如果你把 \(-0.5\) 那次也算了，得出 \(N=0\) 判成稳定 → 你没理解"为什么只数 \(-1\) 以左"，回【难点二】。

第 3 题　某开环稳定系统，测得 \(\omega_c=10\) rad/s 处 \(\varphi(\omega_c)=-200°\)。求 \(\gamma\)，并判断稳定性。若另一个系统 \(\gamma=45°\) 但 \(k_g=0.5\)，稳不稳？

答案要点：\(\gamma=180°+(-200°)=-20°<0\)，不稳定。第二问：最小相位系统必须 \(\gamma>0\) 且 \(k_g>1\) 同时满足才稳定，\(k_g=0.5<1\)，不稳定（PPT 幻灯片 44 第 2 条）。 答错说明你卡在哪：第二问答"稳定" → 你以为看 \(\gamma\) 一个就够了，回 2.5 节第 3 条。

第 4 题　题目给你"幅值裕度为 6"和"幅值裕度为 6 dB"，这两个说的是同一件事吗？分别对应奈氏曲线与负实轴交点在什么位置？

答案要点：不是同一件事。\(k_g=6\) 指倍数，交点到原点距离 \(d=1/6\approx0.167\)；\(k_g=6\) dB 指 \(20\lg(1/d)=6\)，即 \(1/d\approx2\)，\(d\approx0.5\)。两者差了三倍。 答错说明你卡在哪：认为一样 → 回 2.3 节的【你可能会以为】。这是校正题的高发失分点。

第 5 题　某系统 \(\gamma=50°\) 但稳态误差很大。你应该动伯德图的哪一段？为什么不是动中频段？

答案要点：\(\gamma=50°\) 说明平稳性已经在工程合理范围（\(30°\sim60°\)），问题在准，即低频段：抬高低频段（增大 \(K\)）或增加型别（加积分环节，让低频段更陡）。不动中频段是因为中频段管的是平稳性和快速性，而平稳性此刻没毛病。但要注意：抬高 \(K\) 会把整条曲线上移、\(\omega_c\) 右移，可能反过来破坏中频段——这正是第 4 节说的"三频段互相打架"，所以第六章才需要专门的校正装置。 【补前置】校正装置 / 超前网络 / 滞后网络是什么？（第六章的词，这里先给一句，免得答案看不懂） - 校正装置：当原系统性能不达标时，额外串进去的一个小环节（一段电路或一个传递函数），用它改变开环伯德图的形状，把性能拉到要求以内。相当于给系统"装个矫正镜片"，而不是重造系统。 - 超前网络：能在某个频段提供正的（超前的）相角的校正装置，典型形式 \(\dfrac{1+aTs}{1+Ts}\ (a>1)\)。用途：在 \(\omega_c\) 附近补一块相角上去，把 \(\gamma\) 抬起来，顺带把 \(\omega_c\) 右移（更快）。对应"稳"和"快"不够。 - 滞后网络：相角是负（滞后）的校正装置，典型形式 \(\dfrac{1+bTs}{1+Ts}\ (b<1)\)。它真正被用的不是那点滞后相角，而是它能把中高频段整体压低，从而可以放心地把低频的 \(K\) 抬高、\(\omega_c\) 左移，换来稳态精度（准）。对应"准"不够。 一句话：缺相角裕度找超前，缺稳态精度找滞后。 答错说明你卡在哪：答"提高 \(\gamma\)" → 你把裕度和稳态精度混了，回 2.1 节的纠错框。

第 6 题（易错概念）　"\(Z=2\) 的系统比 \(Z=1\) 的系统更不稳定"这句话对不对？

答案要点：不对。\(Z\) 是右半平面闭环极点的个数，\(Z\ne0\) 就是不稳定，不表示"不稳的程度"。程度由裕度衡量（而且裕度概念只对开环稳定系统适用）。 答错说明你卡在哪：回 1.2 节的【你可能会以为】。

第 7 题（本校 T7 直接相关）　已知 \(G(s)H(s)=\dfrac{K}{s^2(Ts+1)}\)（\(K,T>0\)）。用伯德图形式的奈氏判据判稳：①相频曲线上要补多长的虚线、补在哪里、从哪连到哪？②这段虚线上算不算穿越、算几次？③\(Z\) 等于几，系统稳不稳？

答案要点： ① 开环含 \(\nu=2\) 个积分环节，所以在对数相频曲线上、\(\omega\to0^+\) 处补一条虚线，长度 \(\nu\times90°=180°\)，方向向上：从相频曲线的起点 \(\varphi(0^+)=-180°\) 向上补到 \(0°\)（即把 \(\varphi(0^-)\) 与 \(\varphi(0^+)\) 连起来）。注意是相频图，不是幅频图；是开环含积分环节，不是闭环。 ② 算。低频段 \(L(\omega)\to+\infty\)，属于 \(L>0\) 区间。补上虚线后，相频曲线相当于从 \(0°\) 出发一路下降穿过 \(-180°\) 线再继续往下（\(\varphi(\omega)=-180°-\arctan T\omega\)），相角减小方向 → 一次负穿越，\(N_+=0,\ N_-=1\)，\(N=-1\)。 ③ 三个开环极点为 \(0,0,-1/T\)，都不在右半平面，\(P=0\)。\(Z=P-2N=0-2\times(-1)=\mathbf{2}\)，闭环有 2 个正实部特征根，不稳定。（可用第三章劳斯判据验算：闭环特征方程 \(Ts^3+s^2+K=0\) 缺 \(s\) 项，必然不稳定，结论一致。） 答错说明你卡在哪：漏补虚线 → 你会把起点当成"起于 \(-180°\) 的半次穿越"，算出 \(N=-0.5\)、\(Z=1\)，错；回 1.4 节的补画规则。把虚线补在幅频图上或补 \(\nu\times180°\) → 你把伯德图的 \(\nu\times90°\) 和奈氏图的 \(\nu\times180°\) 圆弧混了，回 1.2【难点一】和 1.4 对照着看：奈氏图补 \(180°\) 的弧，伯德相频图补 \(90°\) 的虚线，每个积分环节各一份。

知识地图

向前串（这一讲踩在什么上面） - 第二章·传递函数 → 把 \(s\) 换成 \(j\omega\) 才有频率特性，\(G(j\omega)\) 的分子分母就是传递函数的分子分母。 - 第三章·稳定性判据（劳斯判据）与稳态误差 → 劳斯判据用闭环特征方程的系数判稳，奈氏判据用开环频率特性曲线判稳；两者结论必须一致，可以互相验算。稳态误差的 \(K\) 与型别 \(\nu\)，就是本讲低频段的高度与斜率。 - 第四章·根轨迹 → 同一个套路：用开环信息画图、读闭环性能。根轨迹看"闭环极点走到哪"，奈氏看"开环曲线绕不绕 \(-1\)"，两者判出的稳定性必然一致。第四章的主导极点/阻尼比，通过 3.2 节的公式和本讲的 \(\gamma\) 挂钩。 - 第10讲·频率特性与两种图的画法 → 本讲用的每一条曲线都是上一讲画出来的；不会画就没法判。

横向串（本讲内部的关系） - 奈氏曲线 ↔ 伯德图：同一个 \(G(j\omega)\) 的两种画法。单位圆 ↔ 0 dB 线；负实轴 ↔ \(-180°\) 线；\((-1,j0)\) 以左的负实轴 ↔ \(L>0\) 频段内的 \(-180°\) 线。判据、裕度在两张图上都能读，只是长相不同。 - 判据（稳/不稳，是非题）→ 裕度（离失稳多远，程度题）：裕度是判据的"精细化版本"，所以裕度的前提是判据成立且开环稳定。 - \(\omega_c\) 与 \(\gamma\) 是一对（幅值定频率、相角量裕度）；\(\omega_g\) 与 \(k_g\) 是一对（相角定频率、幅值量裕度）。两对是对偶的，记住这个对偶就不会张冠李戴。

向后串（后面要用它干什么） - 第六章·校正：整章就是"看着伯德图，\(\gamma\) 不够就加超前网络、稳态精度不够就加滞后网络/积分"。本讲的 \(\omega_c\)、\(\gamma\)、\(k_g\)、三频段是校正的全部语言。据《考点分析》p008 题型表 T7，本校考过"绘制 BODE 图并求截止频率、稳态误差、相角裕度和求校正装置"，即本讲与第六章合并成一道大题考。 - 第八章·非线性系统：描述函数法本质上还是奈氏判据，只是把 \((-1,j0)\) 点换成一条"负倒描述函数曲线"，看奈氏曲线和它的交点求自振的幅值与频率。据《考点分析》p007，"非线性本质上还是奈奎斯特…自振基本上年年考"。所以 2.4 节"令虚部为零求与负实轴交点"的算法，第八章还要再用。

本章分量：转录中老师说第五章在各院校考研试题中"必然会出现，一般 15 分左右"【存疑·待核：这是老师对全国普遍情况的估计，我在本校《考点分析》材料里没有查到北方工大第五章的具体分值统计，不能当作本校确定数据】。本校材料里能确认的是：《考点分析》p002 考纲把第五章列为"掌握使用频率特性分析系统稳定性、稳态特性的方法；掌握稳定裕度的基本概念及求解方法；了解闭环系统频率特性与时域性能指标的关系"——这三条恰好就是本讲的第 1、2、3 节，一一对应。