讲解笔记

第13讲　第六章：校正是什么，超前/滞后装置是什么

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读法建议：这一讲是纯概念课，没有一道完整例题（例题在下一讲）。但它是全章的地基：下一讲所有计算的每一个符号，都在这一讲里定义。这一讲我标了 8 处【难点】（含 3.4 节"PI 与滞后的区别"、4.2 节"别把滞后当超前做"两处最爱考的辨析坑）。看不懂很正常，卡住就停在那一段反复读，别硬冲。另外提醒一处内容缺口：考纲里的"根轨迹法校正"本讲没有讲，原因写在第 5.3 节，不是我替你省了。特别提醒：第 0 节不能跳。第六章要用到第三章（稳态误差）和第五章（伯德图）的一堆词，老师默认你都记得，但你大概率忘了。

0. 先把这一讲要用的"旧词"全部翻译一遍（零基础必读）

0.1 开环传递函数 $G(s)H(s)$、闭环、前向通道、反馈通道

传递函数：描述一个部件"输入进去、输出出来"的换算关系的式子，写成 $G(s)$。$s$ 是拉普拉斯变换里的复变量，你现在只需要把它当成"一个代表频率/变化快慢的符号"，把 $G(s)$ 当成一个放大倍数随信号变化快慢而改变的放大器即可。

一个反馈系统里： - 前向通道：从"误差点"往输出走的那条路（信号往前流）。 - 反馈通道：从输出绕回来、和输入做比较的那条路。 - 开环传递函数：把反馈线剪断，沿着"前向通道 × 反馈通道"一路乘出来的那个函数，记作 $G(s)H(s)$。为什么要研究剪断以后的东西？因为第五章所有的判据（相角裕度、截止频率）都是拿开环特性去推断闭环好不好，这是经典控制的核心套路。 - 闭环传递函数：反馈接上以后，输出比输入的真实关系，单回路负反馈时是 $\dfrac{G}{1+GH}$。

0.2 伯德图（Bode 图）、对数幅频特性、分贝、dB/dec、转折频率

【补前置】第五章的东西，这里必须先复活，否则本讲后半段一句都看不懂。

频率特性：给系统输入一个正弦波（$\sin\omega t$），稳定以后输出还是同频率的正弦波，但幅值被放大或缩小了、相位被推前或拖后了。"放大多少倍"记作 $A(\omega)$，"相位挪了多少度"记作 $\varphi(\omega)$。这两条随 $\omega$ 变化的曲线就是频率特性。
【补前置】那两条曲线和 $G(s)$ 里的 $s$ 是什么关系？（这一步本讲后面第 6 节要直接用，必须先说清）
结论一句话：把 $G(s)$ 里的 $s$ 整个换成 $j\omega$，得到的 $G(j\omega)$ 就是频率特性。即 $G(j\omega)=G(s)\big|_{s=j\omega}$。
$j$ 是什么：虚数单位，定义是 $j^2=-1$（数学书写 $i$，工程书写 $j$，因为 $i$ 已被电流占用）。一个复数 $z=a+jb$ 可以看成平面上的一个点（横坐标 $a$、纵坐标 $b$），也就是一个带方向的箭头。
取模 $|z|$ 是什么：这个箭头的长度，$|a+jb|=\sqrt{a^2+b^2}$；辐角 $\angle z$ 是箭头与横轴的夹角。
于是：$A(\omega)=|G(j\omega)|$（箭头长度 = 放大倍数），$\varphi(\omega)=\angle G(j\omega)$（箭头角度 = 相位挪了多少度）。"幅值"和"取模"是同一件事，"相位"和"辐角"是同一件事，本讲后面这两套说法会混着用。
为什么恰好是 $s\to j\omega$：$s$ 是拉氏变换的复变量，$s=\sigma+j\omega$ 里 $\sigma$ 管"衰减快慢"、$\omega$ 管"振荡快慢"。纯正弦输入就是"不衰减、只振荡"，即 $\sigma=0$，所以只剩 $s=j\omega$。这一步在第五章证过，本讲只要会用。
【补前置】常用对数 $\lg$ 是什么、为什么它能把乘法变加法（本讲第 4、5 节反复用）：
$\lg x$ 读作"以 10 为底 $x$ 的对数"，意思是"10 的几次方等于 $x$"。$\lg 10=1$，$\lg 100=2$，$\lg 1=0$，$\lg 0.1=-1$。
核心运算律：$\lg(ab)=\lg a+\lg b$（因为 $10^m\cdot 10^n=10^{m+n}$，指数相加）、$\lg\frac ab=\lg a-\lg b$、$\lg a^n=n\lg a$。"乘变加"这条就是整个伯德图能靠叠加作图的全部原因。
由此还有一条本讲要用的：若 $\omega_m$ 是 $\omega_1,\omega_2$ 的几何平均 $\sqrt{\omega_1\omega_2}$，则 $\lg\omega_m=\frac12(\lg\omega_1+\lg\omega_2)$，即在对数横轴上 $\omega_m$ 就画在两点的正中间。
伯德图：把上面两条曲线画出来的图，横轴是 $\omega$ 取对数（每格是 10 倍，叫"十倍频程"，dec = decade）。
上面那张叫对数幅频特性 $L(\omega)=20\lg A(\omega)$，单位分贝（dB）。$20\lg$ 是"取常用对数再乘 20"，纯粹是为了让乘法变加法：两个环节串联，幅值本来要相乘，取了 dB 就变成相加，画图时直接叠。
0 dB 线：$L=0$ 即 $A=1$，放大倍数正好为 1。
下面那张叫对数相频特性 $\varphi(\omega)$，单位度。
斜率 −20 dB/dec：$\omega$ 每涨 10 倍，幅值掉 20 dB（即掉到 1/10）。一个惯性环节 $\frac{1}{Ts+1}$ 贡献 −20 dB/dec，一个一阶微分环节 $Ts+1$ 贡献 +20 dB/dec。
转折频率（交接频率）：折线近似里曲线"拐弯"的那个频率。对 $\frac{1}{Ts+1}$ 或 $Ts+1$，转折频率就是 $\omega=1/T$。记法：把括号里 $s$ 的系数取倒数。 这个记法本讲会用很多次。

0.3 截止频率 $\omega_c$ 与相角裕度 $\gamma$

截止频率 $\omega_c$（也叫剪切频率、穿越频率）：开环幅频曲线穿过 0 dB 线的那个频率，即 $A(\omega_c)=1$。物理含义：比它低的频率信号系统能"跟得上"（放大倍数大于 1），比它高的就被压掉了。所以 $\omega_c$ 越大，系统反应越快（快速性越好），但同时通带越宽、越容易把高频噪声也放进来。
【补前置】通带与带宽（本讲第 4、5 节反复用来比较超前和滞后的优劣，必须先懂）：
通带：系统"放得过去"的那一段频率区间——低频信号系统跟得上、原样输出；频率高到一定程度，系统惯性跟不上，输出幅值就掉下去了。能通过的这段频率范围就叫通带。
带宽 $\omega_b$：通带的宽度，工程上定义为闭环幅频特性从低频值下降 3 dB（即降到约 0.707 倍）时对应的那个频率。$\omega_b$ 越大 = 通带越宽。
为什么本讲天天提它：带宽大 = 系统跟得上更快的信号 = 响应快（好事）；但同时高频噪声也一起被放进来 = 抗噪差（坏事）。带宽与 $\omega_c$ 大体同向变化（$\omega_c$ 右移带宽变大）。所以本讲后面说"超前校正带宽大、滞后校正带宽小"，本质就是在说"超前换来了快，代价是怕噪声；滞后牺牲了快，换来了干净"。
相角裕度 $\gamma=180^\circ+\varphi(\omega_c)$：在 $\omega_c$ 这一点，相位离 $-180^\circ$ 还差多少度。为什么盯着 $-180^\circ$？因为负反馈系统一旦在某个频率上开环幅值为 1、相位又正好 $-180^\circ$，反馈回来的信号就跟原信号同相叠加、自己养自己，系统就等幅振荡/发散了。$\gamma$ 就是"离翻车还有多远"的安全余量。
$\gamma>0$ 系统稳定（限最小相位系统，见下条），$\gamma$ 越大越稳、超调越小；工程上常要 $\gamma=30^\circ\sim60^\circ$。
【补前置】最小相位系统（这是全讲最要命的一个前置词，因为"$\gamma>0$ 就稳定"这条判据只在它成立）：
定义：开环传递函数的零点和极点全部位于 $s$ 平面的左半平面（即实部都小于 0），且不含纯延迟环节 $e^{-\tau s}$ 的系统，叫最小相位系统。反之只要有一个零点或极点跑到右半平面（比如 $\frac{1}{s-1}$ 或 $1-Ts$ 这种），就是非最小相位系统。
"最小相位"这名字的来由：在幅频特性完全相同的一堆系统里，零极点全在左半平面的那个，相位滞后得最少，所以叫"最小相位"。
为什么本讲非讲不可：最小相位系统的幅频特性和相频特性是一一对应的（看幅频折线就能推出相位），所以才可以只看"$\gamma$ 是正是负"来判稳。非最小相位系统没有这个对应关系，$\gamma>0$ 也可能不稳定，必须回去用第五章的奈氏判据。
考试口径：本章所有的校正设计（超前、滞后、期望特性法）默认对象是最小相位系统，题目不特别声明就按最小相位处理。
幅值裕度 $K_g$（h）：相位到达 $-180^\circ$ 那个频率上，幅值离 1 还差几倍（用 dB 表示）。同样是安全余量，只不过量的是"幅值方向"。

0.4 稳态误差、系统型别、开环增益 K

稳态误差 $e_{ss}$：时间足够长以后，输出和你要它去的目标之间永远消不掉的那个差。它衡量的是准不准。
系统型别 $\nu$：开环传递函数里 $\dfrac{1}{s}$（积分环节）的个数。0 型、Ⅰ 型、Ⅱ 型……型别越高，对付越"难缠"的输入（阶跃→斜坡→加速度）越不吃力，稳态误差越小。
静态误差系数 $K_p$（位置）、$K_v$（速度）、$K_a$（加速度）：越大，稳态误差越小。它们直接正比于开环增益 K（开环传递函数化成尾一标准型后前面那个常数）。
【补前置】尾一标准型（也叫时间常数形式）：把开环传递函数的每一个因式都整理成"常数项为 1"的样子，即写成 $\dfrac{K(\tau_1 s+1)(\tau_2 s+1)\cdots}{s^{\nu}(T_1 s+1)(T_2 s+1)\cdots}$——每个括号里排在末尾的那一项都是 1，故名"尾一"。例：$\dfrac{10}{s(s+2)}$ 要先提出 2，写成 $\dfrac{5}{s(0.5s+1)}$，此时 $K=5$（不是 10）。
为什么必须化成尾一：只有在这个形式下，前面那个常数才是开环增益 K（$K_p/K_v/K_a$ 靠它算），括号里 $s$ 的系数取倒数才是转折频率（画伯德图靠它）。据《26北方工业大学专业课考点分析》p006 第 20 条，学长明确提醒"$G(s)$ 需要化成尾一型……不管是幅频还是相频都需要化成尾一型"，这是本校爱扣分的点。
所以本讲反复出现的那句"只要调增益就能满足稳态要求"，翻译成人话就是：把放大器旋钮拧大，$K$ 变大，$K_v$ 变大，稳态误差就够小了——稳态这关不用另想办法。

0.5 零点、极点

分子等于 0 的 $s$ 值叫零点，分母等于 0 的 $s$ 值叫极点。在伯德图上：一个（左半平面的）零点让幅值曲线往上折 +20 dB/dec、并提供正相位（相位往上抬）；一个极点让曲线往下折 −20 dB/dec、并提供负相位（相位往下拖）。这一条是理解超前/滞后装置的全部秘密，务必记牢。

0.6 第三章欠账：阻尼、超调量 $\sigma\%$、调节时间 $t_s$、谐振峰值 $M_r$

【补前置】这四个词本讲后面（3.2、4.1、5.2 节）会当常识用，但它们是第三、五章的东西，这里一并复活。

阻尼：来自振动的比喻。给弹簧挂个重物拨一下，它会来回振；如果泡在油里（有阻尼），振几下就停。阻尼 = 消耗振荡能量、让它快点停下来的那种作用。二阶系统里用阻尼比 $\zeta$ 度量：$\zeta=0$ 等幅振荡不停，$0<\zeta<1$ 振荡但逐渐衰减，$\zeta\ge1$ 根本不振荡。
"增加阻尼程度"翻译成人话就是：让系统别那么爱来回晃，晃几下就稳住。它和 $\gamma$ 是同向的——$\gamma$ 越大，等效阻尼越大，越不晃。本讲说 PD/超前"增加阻尼程度、改善稳定性"，指的就是这件事。
超调量 $\sigma\%$：给系统一个阶跃输入（目标值突然从 0 跳到 1），输出往往会先冲过头再回落。冲过头的最大值超出最终稳定值的百分比就是超调量：$\sigma\%=\dfrac{c_{\max}-c(\infty)}{c(\infty)}\times100\%$。它衡量平稳性：$\sigma\%$ 越小越平稳。$\gamma$ 越大 → $\sigma\%$ 越小，二者反向。
调节时间 $t_s$：从加输入到输出进入并保持在最终值 $\pm5\%$（或 $\pm2\%$）误差带内所需的时间。它衡量快速性：$t_s$ 越小越快。$\omega_c$ 越大 → $t_s$ 越小。
谐振峰值 $M_r$：闭环幅频特性 $|\Phi(j\omega)|$ 的最大值与其低频值之比（常直接取最大值本身）。出现最大值的那个频率叫谐振频率 $\omega_r$。
物理含义：系统在某个频率上"特别来劲"，输入一点点就输出一大截——这是快要振起来的征兆。所以 $M_r$ 越大 = 越接近不稳 = 超调越大。工程上常要 $M_r=1.1\sim1.4$。
$M_r$ 和 $\gamma$ 是一枚硬币的两面：$\gamma$ 小（相位余量少）→ $M_r$ 大（闭环谐振尖峰高），5.2 节那个 $M_r=1/\sin\gamma$ 就是这个关系的定量版本。

1. 这一章跟前三章根本不是一回事：从"分析"到"设计"

老师开场就点了这件事，非常重要。

第三章（时域）、第四章（根轨迹）、第五章（频域）——名字里都有"分析"。分析的流程是：已有一个系统 → 建数学模型 → 算出它性能好不好。系统是给定的，你只是个体检医生。
第六章是全书唯一和"设计"有关的一章。流程反过来：已有一个不合格的系统 + 一份性能指标要求 → 你去造一个新东西塞进系统里，让它合格。你从体检医生变成了开药的医生。

校正（correction/compensation）的定义（据 PPT 幻灯片 2，要点转述）：在系统中加入一些参数可以按需要改变的机构或装置，使系统整体特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。

这个被加进去的东西叫校正装置 $G_c(s)$，也叫校正环节、控制器、调节器——这四个词在本章是同一个东西，老师会混着用，看到别懵。

而系统里那个你不能改的部分（电机、机械臂、加热炉……厂里已经装好的硬件），叫被控对象或固有部分 $G_0(s)$，它的特性叫固有特性。

【难点1】"校正"到底在改什么？ 难在哪：初学者以为校正是"把原来那个系统修好"。正确理解：原来的系统一根线都不许动。$G_0(s)$ 是买来的硬件，你改不了。校正是在它旁边串一个/并一个新盒子 $G_c(s)$，让"新盒子 + 老硬件"这个组合体的整体特性变好。所以本章一切计算的落点只有一个：把 $G_c(s)$ 这个盒子的传递函数写出来，再说清楚它用什么电路做。

校正的完整过程（据转录并对照 PPT 幻灯片 10-11，要点转述）： 1. 已知：被控对象的固有特性 + 校正后期望达到的性能指标 + 其他约束； 2. 定"用哪一类校正"：串联？反馈？复合？ 3. 定校正装置的传递函数形式，并算出里面的参数（超前装置是 $\alpha$ 和 $T$，滞后装置是 $b$ 和 $T$）； 4. 校验：把算出来的 $G_c(s)$ 装回去，重新算一遍指标，满足则收工；不满足回第 3 步改参数重算。

【你可能会以为】设计是一步到位算出来的。但其实：第 4 步的"校验—不满足—回头改"是设计流程里的正式一环，不是你算错了。PPT 幻灯片 40 第 8 步原文就是"校验是否满足指标要求，不满足调整追加量 ε 再算"。考试大题最后一问经常就是让你做这个校验。

2. 第六章的地图（先看全景，再钻细节）

按校正装置装在哪儿分三种（据 PPT 幻灯片 5-7）：

方式	装在哪	考不考
串联校正	$G_c(s)$ 和被控对象首尾相接串在前向通道里（一般接在误差检测点之后、放大器之前）	绝对重点
反馈校正	$G_c(s)$ 放在局部反馈通道里，在主闭环内部再套一个小闭环	少见，酌情掌握
复合校正	在主反馈回路之外再加一条前馈通路，既有反馈又有前馈	偶尔见，低于串联

按校正装置对相位的作用分三种（据 PPT 幻灯片 8）：超前校正（相角超前，把相位往上抬）、滞后校正（相角滞后，把相位往下拖）、滞后-超前校正（两者合体）。

按设计手法分两类（据 PPT 幻灯片 10-11）：分析法（又叫试探法）和综合法（期望特性法、工程设计法）。

考试落点（据《26北方工业大学专业课考点分析》p006"（六）线性系统的校正方法"条，以下为逐字全文引用，未作删节）："校正：一般校正作为一个大题的第二问考察，之前出过求校正装置，25禁用计算器后也出了求校正装置的题，但求起来不难，对于这一块需要掌握深刻。也会结合Bode图去考，直接给校正后的图像和校正前的图像去求校正函数，或者直接给出校正函数和校正后的函数去求校正前的函数，二求一都是，但不好说会不会让去求一个校正函数，还是建议学的全面一些，超前校正和滞后校正的步骤都有个了解，这两种校正如何选择"。另据同份材料 p001，七类计算题中第 5 项"校正系统设计"旁有星标。

老师在转录里另外强调：综合法里的工程设计法（相角裕度最大、谐振峰值最小两个准则）"几乎没有学校会考察"，反馈校正"近几年考研题中见到的也非常少"。这两句是老师的应试判断，不是考纲原文，作为分配复习时间的参考即可。

3. 基本控制规律：P、PD、I、PI、PID

先讲一句总纲：校正装置本质上就是一个控制器，控制器无非在执行几种"控制规律"。而经典控制理论的精髓，几乎全部落在 PID 上。老师说得很重：现在虽然有神经网络、模糊控制这些听起来先进的方法，但在稳定性和精度要求极高、必须保证系统稳定工作的场合，工业上用的仍然是 PID。

【补前置】P、I、D 三个字母是什么？ - P = Proportional 比例：输出 = 常数 × 误差。误差大就使劲，误差小就轻点。 - I = Integral 积分：输出 = 常数 × 误差的累积总量。"积分"就是把过去每一刻的误差累加起来（几何上是误差曲线下的面积）。只要还有一点误差没消，积分量就一直往上攒，直到把误差彻底抹平为止——这就是积分能消除稳态误差的物理原因。 - D = Derivative 微分：输出 = 常数 × 误差的变化速度。"微分/导数"就是"变化有多快"。误差正在飞快变大，微分项立刻给出一个大动作提前刹车；误差稳住不动了（哪怕还有很大的误差），微分项输出为零。所以微分能预判、不能纠偏。

3.1 比例控制 P

\[G_c(s)=K_p\]

这式子在说什么：控制器就是一个纯放大器，输入乘以 $K_p$ 直接输出，不带任何"随频率变化"的成分。
符号：$K_p$ 是比例系数（放大倍数），无量纲；$s$ 没有出现，说明它对不同快慢的信号一视同仁。
怎么用：调 $K_p$ 就是拧放大器旋钮。
特点（据 PPT 幻灯片 15）：只改变信号增益，不改变相位。$K_p$ 加大 → 开环增益加大 → 稳态误差减小、精度提高；但同时降低系统的相对稳定性（原来稳定的可能变不稳定）。

【你可能会以为】既然加大 $K_p$ 能让系统更准，那一直加大就行。但其实不行。为什么？$K_p$ 加大让整条对数幅频曲线整体上移，0 dB 线的穿越点 $\omega_c$ 就往右移。而相位曲线是不动的（P 不改相位），右移后落在相位更低（更接近或超过 $-180^\circ$）的位置，$\gamma$ 就变小甚至变负——系统振荡加剧乃至发散。这就是"准"和"稳"的根本矛盾，第六章存在的全部意义就是想办法同时要这两样。

3.2 比例-微分控制 PD

\[G_c(s)=K_p(1+\tau s)\]

这式子在说什么：控制器的输出 = 比例项 + 微分项，$\tau s$ 就是微分（$s$ 在时域里对应"求导"）。
符号：$\tau$ 是微分时间常数（秒），$\tau$ 越大微分作用越强。
对系统的影响（据 PPT 幻灯片 16）：它能反映输入信号的变化趋势，产生有效的早期修正信号，增加系统的阻尼程度，改善稳定性。串联校正时，相当于给系统增加了一个开环零点 $-1/\tau$，有助于提高相角裕度、改善动态性能。
用第 0.5 节那条规则复核一下：加了个零点 → 相位往上抬（一阶微分环节提供 $0^\circ\sim+90^\circ$ 的正相位）→ $\gamma$ 增大 → 超调量 $\sigma\%$ 下降、平稳性变好。逻辑闭环。

【你可能会以为】微分能"提前反应"，所以它也能帮着把稳态误差消掉。但其实微分对稳态误差的贡献恰好是零。为什么？微分项的输出 = 常数 × 误差的变化速度。系统进入稳态以后，误差不再变化（哪怕它是一个很大的常数误差），变化速度为 0，微分项输出就是 0——它彻底罢工。从频域看是同一件事：$G_c(s)=K_p(1+\tau s)$ 在 $s\to0$（低频/稳态）时等于 $K_p$，没有引入任何 $\frac1s$，型别不变，所以稳态误差一点没变。一句话记法：微分管"过程"，积分管"结果"。 想让系统别晃、别超调，找 D；想让最后停得准、误差归零，找 I。这也是为什么两者要合起来用（PID）。

【难点2】PD 的两个"但是" 1. 微分放大高频噪声。噪声通常是高频的（变化极快），而微分项对"变化快"的东西反应最猛，所以噪声被成倍放大。 2. 纯微分器物理上做不出来。理由在第 5 节讲（分子阶次高于分母 = 不可实现）。所以 PPT 幻灯片 16 明确给出工程上的做法：用 $G_c(s)=k\dfrac{\tau s+1}{Ts+1}\ (\tau>T)$ 代替理想 PD——即在后面挂一个惯性环节兜住高频。 注意这个式子的形状：$\tau>T$，分子的时间常数大于分母的。请记住它，第 4 节的超前校正装置就是它。超前网络就是理想 PD 的工程近似实现——理想 PD 的 $K_p(1+\tau s)$ 只有零点、没有极点，高频增益无限往上涨（所以做不出来）；超前网络在它后面挂一个极点 $\frac{1}{Ts+1}$ 把高频兜住，于是中频段仍然抬相位（PD 的效果保住了），高频段不再无限放大。二者相位作用同向、传递函数形式不同，别把"近似实现"读成"完全等同"。

3.3 积分控制 I

\[G_c(s)=\frac{1}{Ts}\]

这式子在说什么：控制器把误差不断累加，$1/(Ts)$ 就是积分作用，$T$ 是积分时间常数（$T$ 越小积分越猛）。
特点（据 PPT 幻灯片 17）：可提高系统的型别（0 型变Ⅰ型，Ⅰ型变Ⅱ型），有利于稳态性能提高；但积分使相位滞后 90 度，不利于稳定性。
为什么恰好是 $-90^\circ$？这是纯积分环节 $1/s$ 的固有相位，在所有频率上都是常数 $-90^\circ$。相位被平白往下拖 90 度，$\gamma$ 掉 90 度，原来稳定的系统很可能就翻了。所以积分很少单独使用。

【你可能会以为】既然积分能把稳态误差彻底消成零，那就多加几个积分、或者把积分作用调得越猛越好。但其实这是第六章最贵的一个错误直觉。为什么？ 1. 每加一个积分环节，相位就固定往下掉 $90^\circ$，而且是全频段都掉（不像惯性环节只在高频掉）。加两个积分就是 $-180^\circ$，$\gamma$ 直接被吃光，系统必然不稳。这就是为什么实际系统的型别很少超过 Ⅱ 型。 2. 积分越猛（$T$ 越小）不等于越好。积分是"把过去的误差一直攒着"，攒得太猛会冲过头——误差已经消完了，攒下来的那一大坨还在继续推，于是输出冲过目标再回来，超调变大、振荡加剧（工业上叫"积分饱和"）。 3. 正确的态度：积分是用来买"准"的，而它花的钱是"稳"。第六章一切设计的本质，就是在这笔交易里找到既够准又不翻车的那个点——所以才有 PI（用零点补回一部分相位）、才有滞后校正（把相位坑躲到远处去）。

3.4 比例-积分控制 PI

\[G_c(s)=K_p\left(1+\frac{1}{T_i s}\right)\]

符号：$T_i$ 是积分时间常数。
把括号通分：$K_p\dfrac{T_i s+1}{T_i s}$ ——分母的 $s$ 是一个位于原点的开环极点，分子的 $T_i s+1$ 是一个位于 $s$ 左半平面的开环零点（零点在 $s=-1/T_i$）。这正是 PPT 幻灯片 18 的原话要点。
为什么 PI 比纯 I 好用：纯积分只带来 $-90^\circ$ 的相位坑；PI 在坑旁边补了一个零点，零点提供正相位，把坑填回来一部分，于是既提高了型别（稳态变好、精度提高）又保证系统是稳定的、还提高了阻尼程度。PPT 幻灯片 18 原文写作"PI 控制器主要用来改变系统的稳态性能……可以提高系统的阻尼程度。提高了系统的类型，并保证系统是稳定的"（此处省略号处为该页对零极点的描述，已在上一条完整引用，非另有内容被略）。
工程实现同样带惯性：PPT 幻灯片 18 给出 $G_c(s)=k\dfrac{\tau s+1}{Ts+1}\ (T>\tau)$。 注意这里是 $T>\tau$，和 PD 那个正好反过来。这就是第 4 节的滞后校正装置。

【难点·必须分清】滞后网络是 PI 的工程近似实现，但二者不是同一个东西——差别在"型别"。 - 理想 PI：$K_p\dfrac{T_i s+1}{T_i s}$，分母那个光秃秃的 $s$ 是一个位于原点的极点（$s=0$）。它使系统型别 $\nu$ 加一（0 型变Ⅰ型），因此能把对应输入下的稳态误差彻底消成零。 - 滞后网络：$\dfrac{1+bTs}{1+Ts}$，它的极点在 $s=-1/T$，不在原点。所以它不提高型别，不能把稳态误差消成零，只能"把 $K$ 调大一点、误差小一点"。 - 二者为什么长得像：把 $T$ 取得非常大（$1/T$ 非常小），$-1/T$ 就非常靠近原点，在关心的频段里它的表现近似于一个原点极点。所以工程上用滞后网络来"近似"PI——近似，不是等于。 - 为什么必须记住这个差别：$T$ 取无穷大在电路上做不出来（电容会大到不现实，PPT 幻灯片 45 也提醒"$T$ 太大电路不容易实现"），所以真实的滞后网络永远差那么一口气。 - 考试落点：若问"PI 校正与滞后校正的区别"，标准答法就是上面这条——形式相同、型别不同；PI 提高型别可消除稳态误差，滞后不提高型别只能减小稳态误差。答成"是一回事"直接扣分。

【难点3】PD ↔ 超前、PI ↔ 滞后，靠什么一眼分辨？ 难在哪：两者传递函数长得一模一样，都是 $\dfrac{1+\text{(数)}\cdot s}{1+\text{(数)}\cdot s}$，一个零点一个极点。正确理解：只看分子分母两个时间常数谁大。 - 分子的大（零点频率 $1/\tau$ 更低，先拐上去）→ 相位先被抬起来 → 超前。 - 分母的大（极点频率更低，先拐下去）→ 相位先被拖下去 → 滞后。用第 0.2 节"括号里 $s$ 的系数取倒数就是转折频率"和第 0.5 节"零点上折、极点下折"两条，你可以自己把这个结论推出来，不要死背。

3.5 PID

\[G_c(s)=K_p\left(1+\frac{1}{T_i s}+\tau s\right)=\frac{K_p\left(\tau T_i s^2+T_i s+1\right)}{T_i s}\]

这式子在说什么：三种作用叠加。
怎么理解那个分子：它是 $s$ 的二次式，若 $4\tau/T_i<1$ 则可以分解成两个一次因式，PPT 幻灯片 19 写作 $G_c(s)=\dfrac{K_p(\tau_1 s+1)(\tau_2 s+1)}{T_i s}$——即 PID 相当于给系统加一个原点极点 + 两个负实零点，所以它"不仅改善稳态性能，同时改善动态性能"，兼有 P、I、D 三者优点，工业上用得最广。

【补前置】考纲提示：据《考点分析》p001，简答题常考"PID 控制器中的积分作用"和"校正装置的类型"。也就是说，3.3、3.4 两小节的文字结论（积分提高型别、消除稳态误差、但滞后 90 度不利稳定）是要能默写成一段话的，不是看懂就算。

4. 三种校正装置：超前、滞后、滞后-超前

4.1 超前校正装置

传递函数（据 PPT 幻灯片 22）： $$G_c(s)=\frac{1+\alpha T s}{1+T s},\qquad \alpha>1$$

这式子在说什么：这是一个"高频段放得比低频段大"的滤波器，好处是在中间某段频率上把相位抬起来。
它的高低频增益到底是多少（这里最容易被绕晕，先一次说清）：
理想式（上面这个 $\frac{1+\alpha Ts}{1+Ts}$）：$\omega\to0$ 时分子分母都趋于 1，低频增益 = 1（0 dB），低频根本没被削；$\omega\to\infty$ 时分子分母的 $s$ 项占主导，增益 $\to\dfrac{\alpha T}{T}=\alpha$，即高频增益 = $\alpha$（$20\lg\alpha$ dB）。所以理想超前网络是"低频不动、高频抬高"。
无源 RC 电路实做出来的：真实电路不能凭空放大（无源器件只会分压），它的实际传递函数是 $\dfrac{1}{\alpha}\cdot\dfrac{1+\alpha Ts}{1+Ts}$——整体多乘了一个 $\frac1\alpha<1$。此时低频增益 = $1/\alpha$（被削掉了 $20\lg\alpha$ dB），高频增益才等于 1。
所以才有"需要提高放大器增益加以补偿"这句话（PPT 幻灯片 26 第 2 条）：被削掉的那 $\frac1\alpha$ 要靠串一个增益为 $\alpha$ 的放大器补回来，补回来之后才等于上面那个理想式。开环增益 K 下降、稳态误差变差，指的是无源实现带来的这个 $\frac1\alpha$，不是理想式本身的性质。
每个符号：
$T$：时间常数，单位秒，决定这个装置起作用的频率位置（频率大约在 $1/T$ 附近）。
$\alpha$：分度系数，无量纲，$\alpha>1$，决定能抬多少度相位。
两个转折频率：零点在 $\omega=\dfrac{1}{\alpha T}$（分子括号里 $s$ 系数 $\alpha T$ 取倒数），极点在 $\omega=\dfrac{1}{T}$。因为 $\alpha>1$，所以 $\dfrac{1}{\alpha T}<\dfrac{1}{T}$，零点在左（频率低）、极点在右（频率高）。
伯德图长什么样：从低频往高频走，先撞上零点 → 曲线上折 +20 dB/dec；再撞上极点 → 抵消掉，曲线转平。相位则是全程为正（先升后降的一个鼓包），最大值出现在两个转折频率的几何中心。
怎么用：把它串进系统，用它那个正相位鼓包去顶住系统在 $\omega_c$ 处的相位，把 $\gamma$ 抬上去。

无源 RC 实现（据 PPT 幻灯片 22 的电路图与参数式）：

先把电路画清楚（文字版接线图，对照 PPT 幻灯片 22 左上角那张图看）：

输入 ur ──┬── R1 ──┬── 输出 uc(上端)
          └── C ───┘
                   │
                   R2
                   │
输入 ur(下端) ─────┴───── 输出 uc(下端)   ← 上下两端共用同一根地线

用话说一遍：$R_1$ 和电容 $C$ 两个元件并联（并联 = 两端各自接在一起，是同一对节点），这个并联组合串在输入端与输出端之间；$R_2$ 从输出端接到地。输入 $u_r$ 加在最左边一对端子上（$R_1\!\parallel\!C$ 的上端与地），输出 $u_c$ 从最右边一对端子取（即 $R_2$ 两端的电压）。三个元件各是谁：$R_1$ = 与电容并联的那个电阻，$C$ = 唯一的电容，$R_2$ = 接地的那个电阻。

\[\alpha=\frac{R_1+R_2}{R_2}\ (>1),\qquad T=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}C\]

这两个式子在说什么：给定电路的三个元件值，就能算出这个网络的分度系数 $\alpha$ 和时间常数 $T$，从而写出它的传递函数。注意 $\alpha=\frac{R_1+R_2}{R_2}=1+\frac{R_1}{R_2}$，两个正电阻之比加 1，必然大于 1——这就是超前网络 $\alpha>1$ 的电路来源。$T$ 里的 $\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$ 是 $R_1$ 与 $R_2$ 并联的等效电阻，乘上电容 $C$ 就是一个 RC 时间常数（单位：欧姆×法拉 = 秒）。
考试怎么用（两个方向都要会）：
正向（给电路求传函）：题目给 $R_1,R_2,C$ 的数值 → 代入这两式算出 $\alpha,T$ → 写出 $G_c(s)=\frac{1}{\alpha}\cdot\frac{1+\alpha Ts}{1+Ts}$（无源实现带那个 $\frac1\alpha$，见上一条）。
反向（给指标反配元件）：设计题先由相角要求算出 $\alpha$、由 $\omega_c''$ 算出 $T$ → 再拿这两式反解元件。两个方程三个未知数，解不唯一，做法是自己先选定一个值（通常选 $C$，取一个工程上常见的电容值），然后由 $\alpha=1+\frac{R_1}{R_2}$ 定出 $R_1/R_2$ 的比值，再由 $T$ 那式定出具体阻值。
【补前置】无源网络指只用电阻电容电感、不接电源不带放大的电路；有源网络指含运算放大器（要供电）的电路。老师明确建议：超前、滞后两种装置的无源 RC 电路和有源运放电路，以及对应的传递函数，要熟记——因为考题会让你"用什么元件实现它"。

最大超前角和它出现的位置（$\omega_m$、$\varphi_m$ 两式据 PPT 幻灯片 24；$10\lg\alpha$ 出现在 PPT 幻灯片 25 的伯德图上，不在幻灯片 24。本讲最重要的三个公式）： $$\omega_m=\frac{1}{T\sqrt{\alpha}},\qquad \varphi_m=\arcsin\frac{\alpha-1}{\alpha+1},\qquad L_c(\omega_m)=10\lg\alpha\ \text{(dB)}$$

逐条嚼碎： 1. $\omega_m=\dfrac{1}{T\sqrt\alpha}$ ——这式子在说什么：相位抬得最高的那个频率，正好是两个转折频率 $\dfrac{1}{\alpha T}$ 和 $\dfrac{1}{T}$ 的几何中项（几何平均）。验证：$\sqrt{\dfrac{1}{\alpha T}\cdot\dfrac{1}{T}}=\dfrac{1}{T\sqrt\alpha}$，对上了。（几何平均 = 两数相乘再开根号；在对数横轴的伯德图上，几何中项看起来就是两点连线的正中间，这就是老师说"位于二者几何中心"、并写成 $\lg\omega_m=\frac12(\lg\frac{1}{\alpha T}+\lg\frac1T)$ 的原因。） 2. $\varphi_m=\arcsin\dfrac{\alpha-1}{\alpha+1}$ ——这式子在说什么：能抬多少度，只由 $\alpha$ 决定，和 $T$ 完全无关。$T$ 只管"抬在哪个频率"。$\arcsin$ 是反正弦，即"正弦值等于这个数的角是多少度"。PPT 同时给出等价写法 $\varphi_m=\arctan\dfrac{\alpha-1}{2\sqrt\alpha}$。工程上一般取 $\alpha=5\sim20$ 较好（$\alpha$ 越大微分效应越强）。 3. $L_c(\omega_m)=10\lg\alpha$ ——这式子在说什么：在 $\omega_m$ 这个点上，校正装置本身把幅值抬高了 $10\lg\alpha$ 分贝。为什么是 $10\lg$ 而不是 $20\lg$：因为 $\omega_m$ 在两转折频率正中间，+20 dB/dec 的上升段只走了一半路程。老师特意说"这段高度大家要记住它"——因为超前校正设计的第 5 步就是拿这个 $10\lg\alpha$ 去原系统曲线上反查 $\omega_m$。

【难点4】超前校正的"命门"：$\omega_m$ 必须等于校正后的截止频率 $\omega_c''$ 难在哪：学生记得住三个公式，但不知道它们怎么串起来用，一到题目就傻。为什么难：这里有一个设计意图藏在背后，公式本身不会告诉你。正确理解：我们加超前装置就是为了在 $\omega_c$ 处多拿正相位。而正相位的最大值只在 $\omega_m$ 那一点。如果 $\omega_m$ 没对准 $\omega_c$，那点最大超前角就白给了。 所以设计时强行让 $$\omega_c''=\omega_m=\frac{1}{T\sqrt{\alpha}}$$ 这一条是超前校正整个计算链条的枢纽：先由要补的相角定 $\alpha$，再由 $\omega_c''$ 和 $\alpha$ 定 $T$。PPT 幻灯片 39 开头原话就是"关键选择最大超前角频率等于要求的系统截止频率"。

超前校正的作用与代价（好处与前两条代价据 PPT 幻灯片 26 第(1)(2)(3)条；"分度系数较大会造成带宽过大"与"截止频率附近相角迅速减小者不宜用"据 PPT 幻灯片 42 第(3)(4)条。均为要点转述）： - 好处：提高相角裕度和截止频率 → 超调 $\sigma\%$ 减小、快速性提高、动态性能改善。 - 代价一：使系统的开环增益下降，需要提高放大器增益加以补偿。（原因见上面"高低频增益"那条：理想式低频增益本是 1，但无源 RC 网络实做出来是 $\frac1\alpha\cdot\frac{1+\alpha Ts}{1+Ts}$，低频白掉了 $\frac1\alpha$，得靠放大器补回来。） - 代价二：抗高频干扰能力较弱（幻灯片 26 第(3)条、幻灯片 42 第(2)条"高频段增益加大，对降噪不利"）；分度系数 $\alpha$ 太大还会让校正后带宽过大（幻灯片 42 第(3)条）——带宽大意味着更多高频噪声被放进系统，见第 0.3 节对带宽的解释。 - 代价三：在截止频率附近相角迅速减小的系统，一般不宜用串联超前校正——因为你辛苦抬起来的那点相位，会被 $\omega_c$ 右移过程中系统自己掉下去的相位吃光，改善不大。

【你可能会以为】超前校正既提高了 $\gamma$（更稳）又提高了 $\omega_c$（更快），那它就是又快又稳、白赚的好东西。但其实它有三笔账要付，上面那三条"代价"就是账单： 1. 付的是低频精度：无源实现整体乘了 $\frac1\alpha$，开环增益掉了，稳态误差变差，必须另加放大器补回来（补回来才不亏，但电路成本上去了）。 2. 付的是抗噪能力：它是靠"把高频抬起来"来抬相位的，高频抬起来的同时高频噪声也被一起抬起来，带宽变大（第 0.3 节），噪声环境里反而更糟。所以 PPT 幻灯片 48 才说"输入端噪声水平较高时不宜用超前校正"。 3. 有时候干脆付不起：原系统在 $\omega_c$ 附近相位断崖下跌时，你抬的还不如它自己掉的多，净效果为负。一句话：超前校正是拿"高频干净"和"低频精度"换"快"。天下没有免费的相位。

4.2 滞后校正装置

传递函数（据 PPT 幻灯片 27）： $$G_c(s)=\frac{1+bTs}{1+Ts},\qquad b<1$$

无源 RC 实现（据 PPT 幻灯片 27 的电路图与参数式）：

文字版接线图：

输入 ur ──── R1 ──┬── 输出 uc(上端)
                  │
                  R2
                  │
                  C
                  │
输入 ur(下端) ────┴──── 输出 uc(下端)   ← 共用地线

用话说一遍：$R_1$ 串在输入端与输出端之间；$R_2$ 和电容 $C$ 两个元件串联（首尾相接成一条支路）从输出端接到地。输入 $u_r$ 加在最左边一对端子上，输出 $u_c$ 从右边一对端子取，即取"$R_2$ 与 $C$ 这条串联支路两端"的电压。三个元件各是谁：$R_1$ = 串在通路上的那个电阻，$R_2$ = 与电容串联的那个电阻，$C$ = 唯一的电容。（和超前网络的区别就在电容位置：超前是电容并在 $R_1$ 上，滞后是电容串在 $R_2$ 下面。记混了两个网络就反了。）

\[b=\frac{R_2}{R_1+R_2}<1,\qquad T=(R_1+R_2)C\]

这两个式子在说什么：由三个元件值算出滞后网络的分度系数 $b$ 和时间常数 $T$。$b$ 是"$R_2$ 占总电阻的份额"，两个正电阻的这种比值必然介于 0 与 1 之间——这就是滞后网络 $0<b<1$ 的电路来源，也顺带说明它是无源可实现、不需要额外放大器的（低频增益就是 1，没有被削）。$T=(R_1+R_2)C$ 是两电阻串联总阻值乘电容，单位是秒。
考试怎么用：与超前网络同理，正向是"给元件值 → 求 $b,T$ → 写 $G_c(s)=\frac{1+bTs}{1+Ts}$"；反向是"由设计算出的 $b,T$ → 先自选一个 $C$ 值 → 由 $b$ 定 $R_2/(R_1+R_2)$ 的比例、由 $T$ 定 $R_1+R_2$ 的总值 → 解出 $R_1,R_2$"。注意滞后网络正向时不带 $\frac1b$ 那种系数（低频增益本来就是 1）。

滞后网络也有最大滞后角公式（PPT 幻灯片 27 一并给出，但设计时用不到，这里只作对照）： $$\omega_m=\frac{1}{T\sqrt b},\qquad \varphi_m=-\arcsin\frac{1-b}{1+b}$$ - 这两式在说什么：相位往下掉得最狠的那个频率是 $\omega_m$（同样是两个转折频率 $\frac1T$ 与 $\frac{1}{bT}$ 的几何中项），掉的最大角度是 $\varphi_m$。因为是滞后，取负值（$0<b<1$ 时 $\frac{1-b}{1+b}>0$，故式子前面必须带负号）。符号：$b$ 是分度系数、$T$ 是时间常数，与上面同一套。 - 【难点·防新坑】滞后校正设计全程不用这两个式子，千万别照搬超前的做法去令 $\omega_c''=\omega_m$。 - 为什么写在这里：只是为了让你看到"滞后网络和超前网络的数学形式完全对称"（把 $\alpha>1$ 换成 $b<1$，$\varphi_m$ 就从正变负）。 - 超前设计要的是把 $\omega_m$ 对准 $\omega_c''$（去抢那个最大正相位）；滞后设计要的恰恰相反——把 $\omega_m$ 躲得离 $\omega_c''$ 越远越好（因为那是个害人的相位坑），具体做法就是下面把转折频率压到 $\omega_c''$ 的十分之一以下。 - 这一点和【难点4】正好互为镜像，是本讲最容易张冠李戴的地方。滞后校正真正要用的两个式子是后面的 $20\lg b+L'(\omega_c'')=0$ 和 $\frac{1}{bT}=0.1\omega_c''$，不是这两个。

【存疑·待核】转录中老师口述为"这个 b 是小于零的"。这是口误或 ASR 误听：PPT 幻灯片 27 明确写 $b=\dfrac{R_2}{R_2+R_1}<1$，$b$ 是两个正电阻之比，必然在 0 与 1 之间，是 $b<1$ 不是 $b<0$。答题一律按 $0<b<1$。

和超前装置的关系：形式完全一样，都是一零点一极点，只不过零极点位置对调了。这里 $b<1$，所以极点 $\omega=1/T$ 在左（频率低）、零点 $\omega=\dfrac{1}{bT}$ 在右（频率高）。
伯德图长什么样：先撞极点 → 下折 −20 dB/dec；再撞零点 → 转平。于是高频段整体被压低了 $20\lg b$ 分贝（$b<1$ 所以这是个负数，即衰减）。相位全程为负（一个向下的坑）。

【难点5】滞后校正用的不是它的"滞后相位"，而是它的"低通滤波特性" 难在哪：名字叫"滞后校正"，学生自然以为我们是要用那个负相位。方向完全反了。 为什么难：这里"名字"和"用途"是脱节的，必须专门记。正确理解：负相位是有害副作用，我们要的是它的高频幅值衰减——即低通滤波特性（低频信号原样通过、高频信号被压低，像个滤网）。它怎么帮上忙？把中高频段的幅值整体压低 $20\lg b$ 分贝以后，原来穿 0 dB 线的位置就往左挪了，即 $\omega_c$ 降低 → 落到相位还没怎么掉下来的低频区 → $\gamma$ 自动变大。换句话说：超前是"把相位抬到 $\omega_c$ 那儿去"，滞后是"把 $\omega_c$ 挪到相位还高的地方来"。同样是增大 $\gamma$，路子完全相反。

【存疑·待核】转录该处口述为"把穿越零分贝线的部分降下来，从而使它的截止频率提高"。按 PPT 幻灯片 29 与 44-45，滞后校正是"降低系统的开环截止频率、提高相角裕度"，$\omega_c$ 是降低而不是提高，转录此处为口误或 ASR 串词。答题按"降低 $\omega_c$"。

既然负相位有害，怎么办：把滞后装置的两个转折频率放得离 $\omega_c''$ 很远（远在左边），这样等频率走到 $\omega_c''$ 时，那个相位坑早就走完、恢复得差不多了。PPT 幻灯片 45 给出的定量做法是 $$\frac{1}{bT}=\frac{1}{10}\,\omega_c''$$ 即让零点转折频率取校正后截止频率的十分之一（必要时 0.1 可适当放大；$T$ 太大电路不容易实现）。另一条是幅值抵消条件 $$20\lg b+L'(\omega_c'')=0$$ ——这式子在说什么：滞后网络的衰减量，要正好抵消原系统在新截止频率处还剩的那点分贝，使校正后曲线在 $\omega_c''$ 处正好落到 0 dB。$L'(\omega_c'')$ 是未校正系统在新截止频率处的对数幅值。这两个式子就是滞后校正求参数的两把钥匙（一个求 $b$，一个求 $T$）。
PPT 幻灯片 43 还给了一条工程红线：把滞后相角控制在 $-30^\circ$ 以内（不使它对相角裕度产生明显影响）。
滞后校正的作用（据 PPT 幻灯片 29）：利用高频幅值衰减特性降低 $\omega_c$、提高 $\gamma$；可提高稳态精度（因为你可以先把 K 调大来满足稳态，再用滞后把被 K 顶坏的稳定性救回来）；对低频有用信号不衰减、对高频噪声有削弱作用。适用于动态性能已满足要求、稳态精度需要提高的系统。

【你可能会以为】滞后校正能"提高稳态精度"，说明滞后网络本身能减小稳态误差。但其实滞后网络自己什么忙都没帮上——它的低频增益就是 1（$\omega\to0$ 时 $\frac{1+bTs}{1+Ts}\to1$），对稳态误差的直接贡献恰好是零，而且它不含原点极点，不提高型别（见 3.4 节那条"必须分清"）。真正的因果链是这样的（绕一个弯，务必看清）： 1. 你想要更小的稳态误差 → 就得把开环增益 $K$ 调大； 2. $K$ 一调大，整条幅频曲线上移，$\omega_c$ 右移，$\gamma$ 变小甚至变负 → 系统被调坏了； 3. 这时请出滞后校正，用它的高频衰减把 $\omega_c$ 压回来 → $\gamma$ 救回来。所以"滞后校正提高稳态精度"的准确说法是：它替你兜住了"为提高稳态精度而调大 K"所付出的稳定性代价，使这件事变得可行。PPT 幻灯片 43 原文就是这个意思——"改善系统的稳态性能，这是在保证系统具有一定的稳定裕度前提下，通过提高系统的开环增益实现的"。功劳在 $K$，滞后网络是保镖。

4.3 滞后-超前校正装置

\[G_c(s)=\frac{(1+\tau_1 s)(1+\tau_2 s)}{(1+T_1 s)(1+T_2 s)},\qquad T_1>\tau_1,\quad \tau_2>T_2\]

这式子在说什么：把一个滞后网络和一个超前网络串在一起。前一个括号对（$T_1>\tau_1$，分母时间常数大）是滞后部分，管低频、改善稳态；后一个括号对（$\tau_2>T_2$）是超前部分，管高频、改善动态。
特性：频率低时滞后部分起主导 → 装置相位 $<0$；频率高时超前部分起主导 → 相位 $>0$。
什么时候用（据 PPT 幻灯片 50）：未校正系统不稳定，且对响应速度、相角裕度、稳态精度要求都比较高时用它。PPT 幻灯片 49 明确说：确定参数时可以独立地分别套用滞后设计和超前设计的步骤与结论——也就是说不需要新公式。【你可能会以为】滞后-超前把两者优点都占了，那干脆所有题都用它，反正最全能。但其实不行，两个原因：
它更贵更复杂：多一倍的元件、多两个待定参数，设计和调试的工作量都翻番。工程上"能用简单的就不用复杂的"是铁则，考试也一样——题目问"应选哪种校正"，答滞后-超前而实际只需超前，是要扣分的。
它是有明确适用条件的（PPT 幻灯片 50）：未校正系统不稳定，且对响应速度、相角裕度、稳态精度的要求都比较高。三个条件缺一，就该用更简单的那个。反过来说：只嫌慢 → 超前；只嫌不准 → 滞后；又不稳、又要快、又要准 → 才轮到它。判别口诀：超前管快、滞后管准、合体管"本来就不稳还全都要"。
PPT 幻灯片 50 另给一种写法 $G_c(s)=\dfrac{(1+T_a s)(1+T_b s)}{(1+\alpha T_a s)(1+\frac{T_b}{\alpha}s)}$，其中 $\alpha>1$，这体现了"两部分的分度系数用同一个 $\alpha$ 互为倒数"这一约束——老师转录里说的"时间常数和 $\alpha$、$b$ 之间还有一个关系"，指的就是这件事。

【补前置】负载效应（PPT 幻灯片 32 提到，老师没展开，这里补）：把两个电路直接串起来时，后一级会从前一级"抽电流"，导致前一级的实际输出不再等于它单独测出来的输出——于是"总传递函数 = 两级传递函数相乘"这个算法就不准了。无源网络串在放大器级间就有这个毛病，这正是要用有源校正装置（含运放）的原因：运放输入阻抗极高、输出阻抗极低，几乎不抽电流，能把两级隔开。 - 【补前置】输入阻抗 / 输出阻抗：阻抗就是"交流电路里的电阻"（把电阻、电容、电感对交流的阻碍统一起来的说法）。输入阻抗是从一个电路的输入端往里看到的等效阻抗——它越大，这个电路从前一级抽走的电流越小（因为电流 = 电压 / 阻抗）。输出阻抗是从输出端往里看到的等效阻抗——它越小，输出电压就越不会因为后级抽电流而被拉低。所以"输入阻抗极高 + 输出阻抗极低"翻译成人话就是：它几乎不给前一级添麻烦，也几乎不怕后一级添麻烦，前后两级因此互不干扰，"传递函数相乘"这个算法才重新成立。 - 【补前置】测速发电机：一种装在电机轴上的传感元件，输出电压正比于转速。它的作用相当于把"位置/角度"这个量求了一次导数变成"转速"，所以在结构上它天然是一个微分（测速）反馈元件——第三章二阶系统的"测速负反馈"用的就是它。它不是校正装置本身，而是把速度信号取出来送进反馈通道的那个器件。

常用有源校正装置有：测速发电机 + 无源网络、PID 控制器、无源网络 + 运算放大器。

5. 串联校正怎么设计：分析法 vs 综合法

5.1 分析法（试探法）

思路（据 PPT 幻灯片 10）：设计者根据待校正系统的特点、性能和期望特性，凭经验先定校正装置的形式，再算参数，最后校验。优点：直观、物理上易于实现；缺点：要求设计者有工程经验，过程带有试探性。

什么时候用超前？（以下三条为转录中老师口述的要点转述。PPT 幻灯片 38 只列了"系统稳定、动态满足要求、稳态精度低／动态不满足／稳态与动态均不满足"三种情形，幻灯片 39 首句为"关键选择最大超前角频率等于要求的系统截止频率"，并未逐条给出下面这三个适用条件，故不标为 PPT 原文） 1. 稳态要求只靠调增益就能满足（即调 $K$ 让 $K_p/K_v/K_a$ 达标）； 2. 要求校正后的截止频率大于校正前（要更快）； 3. 要求校正后相角裕度大于校正前，且校正前系统本身是稳定的（$\gamma>0$）；同时从校正前 $\omega_c$ 到校正后 $\omega_c''$ 这一段，系统自身相位下降不剧烈。

第 3 条的后半句是最容易被忽略、也最要命的：如果原系统在 $\omega_c$ 附近相位是断崖式下跌（例如那里的斜率是 −40 或 −60 dB/dec），你把 $\omega_c$ 往右推的过程中系统自己掉的相位，会超过你辛苦补上的 $\varphi_m$，净效果反而更差。这就是 PPT 幻灯片 42 第 4 条"在截止频率附近相角迅速减小的待校正系统，一般不宜采用串联超前校正"。

什么时候用滞后？（转录要点转述；与 PPT 幻灯片 43-45 的滞后校正原理与步骤方向一致，但幻灯片未逐条列出这三条，故不标为 PPT 原文） 1. 稳态要求同样只靠调增益就能满足； 2. 要求校正后的截止频率小于校正前（用低通滤波特性把 $\omega_c$ 压下来）； 3. 要求校正后的相角裕度比校正前大，且大 5 度以上——这一条的含义是：滞后带来的那点负相位对系统影响不大，你有足够余量兜住它。

超前校正设计步骤（据 PPT 幻灯片 39-40，逐条转述）： 1. 根据稳态误差要求，确定开环增益 $K$； 2. 用已定的 $K$ 画伯德图，求出未校正系统的 $\omega_c$ 和相角裕度 $\gamma_0$（解析法：令 $\omega_c$ 处幅值为 1，解方程；图解法：用渐近线斜率与交点）； - 【补前置】渐近线：伯德图的真实幅频曲线是弯的，但工程上用若干段直线去近似它——低频一段直线、每过一个转折频率斜率就变一次（过极点减 20 dB/dec、过零点加 20 dB/dec），拼成一条折线。这些直线段就叫渐近线（"渐近"= 在远离转折频率处它无限贴近真实曲线，误差只在转折点附近，最大约 3 dB）。图解法求 $\omega_c$ 就是：用这条折线，从某个已知点沿已知斜率算到 0 dB 处的频率。例如某段斜率 −20 dB/dec、已知在 $\omega_1$ 处幅值为 $L_1$ dB，则 $\omega_c=\omega_1\times10^{L_1/20}$（斜率 −20 时每 10 倍频掉 20 dB，直接用对数比例推）。第五章画伯德图用的就是这套折线法。 3. 算需要补多少超前相角：$\varphi_c=\varphi_m=\gamma_{\text{要求}}-\gamma_0+\varepsilon$。其中 $\varepsilon$ 是相角追加量——因为 $\omega_c$ 右移后原系统相位还会再掉一点，必须预留。PPT 给的经验值：$\omega_c$ 处经过 $-40$ dB/dec 取 $\varepsilon\approx5^\circ$，经过 $-60$ dB/dec 取 $\varepsilon\approx15^\circ\sim20^\circ$； 4. 由 $\varphi_m=\arcsin\dfrac{\alpha-1}{\alpha+1}$ 反解出 $\alpha$； 5. 算出 $10\lg\alpha$，在原系统的对数幅频曲线上找到幅值等于 $-10\lg\alpha$ 的那个频率，定为 $\omega_m$（这样校正后该点正好升到 0 dB，即 $\omega_c''=\omega_m$）； 6. 由 $\omega_m=\dfrac{1}{T\sqrt\alpha}$ 求出 $T$，进而得两个转折频率 $\omega_1=\dfrac{1}{\alpha T}$、$\omega_2=\dfrac{1}{T}$； 7. 写出 $G_c(s)=\dfrac{1+\alpha Ts}{1+Ts}$，并叠加曲线：$L(\omega)=L_0(\omega)+L_c(\omega)$，$\varphi(\omega)=\varphi_0(\omega)+\varphi_c(\omega)$； 8. 校验指标是否满足，不满足则调整 $\varepsilon$ 重算。

滞后校正设计步骤（据 PPT 幻灯片 44-45，逐条转述）： 1. 由稳态误差要求定开环增益 $K$； 2. 画未校正系统的对数频率特性，求 $\omega_c'$、$\gamma(\omega_c')$、幅值裕度 $h$（dB）； 3. 根据校正后相位裕量要求确定所需的 $\gamma(\omega_c'')$，并加一定补偿裕量（考虑滞后装置在穿越频率附近造成的相位滞后）； 4. 在原相频曲线上找到满足该相角要求的频率，选作 $\omega_c''$（校正后的截止频率）； 5. 定 $b$ 和 $T$：由 $20\lg b+L'(\omega_c'')=0$ 求 $b$；由 $\dfrac{1}{bT}=\dfrac{1}{10}\omega_c''$ 求 $T$； 6. 校验相位裕量是否满足要求。

超前和滞后的对照（据 PPT 幻灯片 48，原文要点）： 1. 超前用的是相角超前特性，滞后用的是高频衰减特性； 2. 采用无源网络时，超前校正需要附加增益，滞后校正一般不需要； 3. 对同一系统，超前校正后的带宽大于滞后校正后的带宽（带宽的含义见第 0.3 节：带宽大=响应快但噪声也进得多）；若输入端噪声水平较高，不宜用超前校正。

5.3 根轨迹法校正（本讲不展开，但必须交代清楚为什么）

【存疑·待核】本校考纲（《考点分析》p003 与《26北方工业大学专业课考点分析》p003）第六章条目原文为"掌握串联校正的频率法、根轨迹法、期望特性法等"——根轨迹法校正明确写在考纲里。本讲（以及本讲对应的视频课）只讲了频率法与期望特性法，根轨迹法校正整节没有讲。这不是我替你省略的，而是原始材料就没有，为免误导，明确标出：

它是什么（一句话补位，避免完全空白）：频率法是在伯德图上做文章（调 $\gamma$ 和 $\omega_c$）；根轨迹法校正是在 $s$ 平面上做文章——先由性能指标（$\sigma\%$、$t_s$）反推出期望的闭环主导极点位置，再用"根轨迹的相角条件"算出校正装置该提供多少相角，从而定出校正装置零极点的位置（超前校正就是加一对"零点靠近原点、极点更远"的零极点，把根轨迹往左半平面拽）。用到的正是第四章的相角条件与幅值条件。
为什么本讲不展开：①视频课与 PPT《第6章线性系统的校正新》全篇均未涉及根轨迹法校正的设计步骤，我没有可靠材料可依，硬写就是编（违反铁律四）；②《26北方工业大学专业课考点分析》p006 谈第六章命题方式时，通篇只提"求校正装置""结合 Bode 图考"，未提及根轨迹法校正；③两份考点分析的 p003 原件上，"根轨~~迹~~法"与"期望特~~性~~法"这两处均有红色手写 X 划除标记（见该文件 annotations 字段），学长很可能是在标注"这两项本校不考/弱化"——但划除的确切含义无法确认，属推测。
给你的行动建议：不必现在补，但别当它不存在。若第 14 讲例题或本校真题中出现根轨迹法校正，回第四章"根轨迹的幅值条件与相角条件"那一节，加上本节上面那段思路即可上手。若时间紧，按学长的划除标记与 p006 的命题描述，优先级低于频率法。

5.2 综合法（期望特性法）

思路：不靠经验试探，而是先按性能指标画出期望的开环对数幅频特性曲线，再和原系统的曲线比较，倒推出校正装置。

为什么"两条曲线一减"就能得到校正装置？因为串联时 $$G_{\text{校正后}}(s)=G_c(s)\cdot G_0(s)\ \Longrightarrow\ G_c(s)=\frac{G_{\text{校正后}}(s)}{G_0(s)}$$ 在对数幅频图上，乘除变成加减，所以图上直接"校正后曲线减校正前曲线 = 校正装置曲线"。这是第 0.2 节说的"取 dB 是为了让乘法变加法"的直接兑现。

这里要用到第五章的技能：由伯德图反推传递函数（看折线斜率变化点定转折频率、看低频段位置定 K）。这是本章和第五章咬合最紧的地方，也是北方工大最爱考的形式——据《26北方工业大学专业课考点分析》p006，"直接给校正后的图像和校正前的图像去求校正函数，或者直接给出校正函数和校正后的函数去求校正前的函数，二求一都是"；据 p008 历年题型表，T7 连续多年是"根据 BODE 图求传函和设计/绘制校正装置"。

综合法里还有一支叫工程设计法，是对期望特性法的进一步简化，常用两个准则：相角裕度最大、谐振峰值 $M_r$ 最小。老师明确说这部分"考试的话我们不会见到"，可以不加重视。（不展开的原因：属工程近似方法，不在本校历年题型表中出现；此处不是省略了知识点，而是判定为非考点。）

顺带补上综合法要用的频域-时域换算公式（PPT 幻灯片 34-36 给出）。它们的用途只有一个：题目给的往往是时域指标（超调 $\sigma\%$、调节时间 $t_s$），但校正是在频域图上做的，必须先把时域指标翻译成频域指标（$\gamma$、$\omega_c$），才知道该把曲线校成什么样。

\[M_r=\frac{1}{\sin\gamma},\qquad t_s=\frac{K_0\pi}{\omega_c},\qquad K_0=2+1.5(M_r-1)+2.5(M_r-1)^2\]

符号逐个交代（这三个词都在第 0.6 节解释过，这里只说它们在式子里干嘛）：
$\gamma$ = 相角裕度（度），$M_r$ = 闭环谐振峰值（无量纲，闭环幅频曲线的最高点），$t_s$ = 调节时间（秒，输出进入 $\pm5\%$ 误差带并不再出去所需的时间），$\omega_c$ = 截止频率（rad/s），$K_0$ = 一个只由 $M_r$ 决定的无量纲中间系数（它本身没有物理意义，是拟合出来的换算因子）。
第一式 $M_r=1/\sin\gamma$ 在说什么：$\gamma$ 越小 → $\sin\gamma$ 越小 → $M_r$ 越大。翻译：相位余量越少，闭环越容易在某个频率上"共振冒尖"，超调越大。这就是第 0.6 节说的"$M_r$ 与 $\gamma$ 是一枚硬币两面"的定量版。
为什么有适用范围 $35^\circ\le\gamma\le90^\circ$：这个式子不是严格推导出来的普适公式，而是在二阶系统近似（或主导极点近似）下拟合出来的经验关系。$\gamma<35^\circ$ 时系统已经很欠阻尼，二阶近似失效、误差迅速变大；$\gamma>90^\circ$ 在实际最小相位系统里几乎不出现，且 $\sin\gamma$ 过了 $90^\circ$ 会掉头下降、式子失去单调性。所以超出这个范围就不能用它换算，要改回用第三章的时域公式或直接仿真。
第二、三式怎么用（做题动作）：题目给 $t_s$ 和 $\sigma\%$ → 由 $\sigma\%$（或直接给的 $\gamma$ 要求）定 $\gamma$ → 代入第一式算 $M_r$ → 代入第三式算 $K_0$ → 代入第二式反解 $\omega_c=\dfrac{K_0\pi}{t_s}$。至此就把时域要求翻译成了"$\gamma$ 要多大、$\omega_c$ 要多大"这一对频域目标，剩下的就是第 4、5 节那套画图配参数的活。
这几个式子在滞后-超前校正与期望特性法的综合设计中会用到，本讲只交代到"会代数字"这一层，下一讲例题里带你走完整流程。

6. 反馈校正

结构：在主闭环内部，把 $G_c(s)$ 接在局部反馈通路里，包住被控对象中"动态性能需要改善"的那几个环节，形成一个局部闭环。

【你可能会以为】"反馈校正"就是去改系统原来那条主反馈线（比如在反馈通道上乘个系数、换个传感器）。但其实不是。主反馈线是系统的定义的一部分，动了它就等于改了控制目标（$H(s)$ 变了，系统追的就不是原来那个量了，稳态关系全变）。反馈校正的真实做法是：在主闭环内部，另起一条新的局部反馈线，从被控对象中间某处引出来，经过你设计的 $G_c(s)$，绕回到前面某处，把 $G_2$ 这一段单独包成一个小闭环。主反馈线一根手指都没碰。记住第 1 节【难点1】那句总纲：原系统一根线都不许动。串联校正是"在前面串一个新盒子"，反馈校正是"在里面并一条新回路"——都是往上加，不是往里改。

文字版结构图（$G_2$ 是被包住的那部分硬件，$G_c$ 是你设计的反馈校正装置）：

        ┌────────────── 局部闭环 ──────────────┐
 ──→ (比较点 ⊗) ──→ [ G2 ] ──┬──→ 输出
        ↑ (−)                │
        └──── [ Gc ] ←───────┘

先把局部闭环的传递函数推出来（三行代数，别背）：设比较点输出为 $E_2$、局部环输出为 $C_2$、输入为 $U$。 1. 比较点做相减：$E_2=U-G_c C_2$（负反馈，反馈量 $G_cC_2$ 前面带负号）； 2. 前向通道：$C_2=G_2E_2=G_2(U-G_cC_2)$； 3. 把含 $C_2$ 的项并到左边：$C_2(1+G_2G_c)=G_2U$，故 $$\frac{C_2}{U}=\frac{G_2}{1+G_2G_c}$$ 这就是那个"$\frac{G}{1+GH}$"的通用闭环公式在这里的具体样子：分子 = 前向通道，分母 = 1 + 回路上一圈的乘积。

核心结论（转录与 PPT 一致，要点转述）：把整个频率轴分成两段，判据是"回路增益 $|G_2(j\omega)G_c(j\omega)|$ 与 1 谁大"（$|\cdot|$ 是取模，即放大倍数，见第 0.2 节）。

被校正频段：$|G_2G_c|\gg1$。此时分母 $1+G_2G_c$ 里那个 1 相比 $G_2G_c$ 小到可以忽略（就像 $1+10000\approx10000$），于是 $$\frac{G_2}{1+G_2G_c}\approx\frac{G_2}{G_2G_c}=\frac{1}{G_c}$$ 分子分母的 $G_2$ 约掉了——局部闭环的特性只由反馈校正装置 $G_c$ 决定，和被包围的那部分硬件 $G_2$ 无关。
不被校正频段：$|G_2G_c|\ll1$。此时分母里 $G_2G_c$ 可忽略，$1+G_2G_c\approx1$，于是 $\dfrac{G_2}{1+G_2G_c}\approx G_2$——局部闭环特性就是原硬件本身，反馈通道形同虚设。

【难点6】为什么"和被包围部分无关"是反馈校正的全部威力所在？ 难在哪：这句话听起来只是个数学近似，学生看不出它有什么了不起。正确理解：$G_2$ 是那个你改不了、还可能有毛病（有非线性、有大惯性、参数随温度漂移、有噪声）的硬件。而上面这个近似说：只要局部环增益足够大，这段频率范围内系统的行为就完全由你亲手设计的 $G_c$ 说了算，硬件的毛病被"洗掉"了。所以教材归纳的反馈校正作用是：削弱被包围环节非线性特性的影响、降低系统的时间常数、降低系统对参数变化的敏感性、抑制系统噪声。 你其实早就见过它：第三章二阶系统里的测速负反馈就是一个局部反馈校正——它把扰动在局部闭环里就地摁死，还没来得及影响总输出。

设计思路：通常用综合法——先画期望特性，再利用"被校正频段内局部闭环特性取决于反馈通道特性"这条关系反推 $G_c(s)$，最后校验。

考情：老师说反馈校正"近几年考研题中见到的也非常少"，若考，多半是给出校正前后的对数幅频特性曲线，反推校正装置。这是老师的应试判断；从本校考纲（《考点分析》p003）看，"掌握反馈校正的频率法设计"仍在要求之列，因此不建议完全不看。

7. 复合校正（复合控制）

结构（据 PPT 幻灯片 7）：在原有的反馈回路之外，再加一条前馈通路，系统里既有反馈又有前馈。

【补前置】前馈是什么？反馈是"等结果出偏差了再纠"，前馈是"在偏差发生之前，根据已知的输入或已测到的扰动，提前算好一个补偿量直接打进去"。反馈是事后纠错，前馈是事前预判。两者合起来叫复合控制。

【你可能会以为】既然前馈理论上能把误差完全消成零，那前馈显然比反馈高级，能用前馈就别用反馈。但其实前馈单独用根本不能工作，理由有三条，条条要命： 1. 前馈是开环的，没有自我纠错能力。它靠的是"我知道被控对象是 $G_o$，所以我按 $1/G_o$ 算好补偿量打进去"。可是一旦 $G_o$ 和你以为的不一样（元件老化、温度漂移、模型本来就不准），补偿量就是错的，而前馈永远不会发现自己错了——它压根不看输出。反馈才是那个"看结果、发现偏了就纠"的机制。 2. 前馈只能补偿"你测得到"的东西。按扰动补偿要求你能把扰动测出来，可现实中大多数扰动测不到、也测不准；测不到的那些，只有反馈能兜。 3. 完全补偿在物理上做不出来（下面 7.1 的实现性讨论），只能做部分补偿，剩下的残差还是得靠反馈收拾。所以名字才叫复合校正：反馈是主力和底线，前馈是锦上添花的提速手段。考试若问"复合校正为什么不能只要前馈"，答上面第 1 条即可（开环、无纠错能力、对模型误差敏感）。

目的：减小乃至完全消除稳态误差。按补偿对象分两种：

7.1 按输入补偿

设主回路前向通道 $G_o(s)$、控制器 $G_c(s)$、前馈通道 $G_r(s)$（从输入 $R$ 直接打到 $G_o$ 的输入端）。

文字版结构图（先看清接线，再推公式；$\oplus$ 是相加点，$\otimes$ 是做减法的比较点）：

          ┌──────────── [ Gr ] ────────────┐   ← 新加的前馈通路
          │                                ↓
 R ──┬──→ (比较点 ⊗) ──→ [ Gc ] ──→ (相加点 ⊕) ──→ [ Go ] ──┬──→ C
     │        ↑ (−)                                         │
     │        └─────────────────────────────────────────────┘  ← 单位负反馈
     └─ 误差 E 定义为比较点的输出：E = R − C

逐行推导（负号从哪来，这一步必须自己会走）： 1. 误差的定义：$E=R-C$（单位反馈时，误差 = 给定值减实际输出。这个减号来自比较点，是负反馈的本意）。 2. 输出 $C$ 由两路信号共同产生：一路是误差经控制器 $G_c$ 来的，一路是输入经前馈 $G_r$ 直接来的，两者在相加点汇合后一起进 $G_o$： $$C=G_o\,(G_cE+G_rR)$$ 3. 把第 1 式的 $C=R-E$ 代入第 2 式：$R-E=G_oG_cE+G_oG_rR$。 4. 把含 $E$ 的项并到一边、含 $R$ 的项并到另一边：$R-G_oG_rR=E+G_oG_cE$，即 $R(1-G_rG_o)=E(1+G_cG_o)$。 5. 两边一除，得

\[\Phi_{er}(s)=\frac{E(s)}{R(s)}=\frac{1-G_r(s)G_o(s)}{1+G_c(s)G_o(s)}\]

这式子在说什么：误差对输入的比值（误差传递函数）。分子里的"$1$"来自第 1 步 $E=R-C$ 中 $R$ 自己那一项——即原来那条 $R$ 直接进比较点的通路；"$-G_rG_o$"来自新加的前馈路径（第 3 步把 $C$ 换成 $R-E$ 时，$G_oG_rR$ 被移到了左边，负号正是在这一步产生的，本质是"前馈送来的那份输出会把误差抵消掉"）；分母 $1+G_cG_o$ 是标准的闭环特征式（1 + 回路一圈的乘积），和第 6 节推局部闭环时一模一样。
自查：若去掉前馈（令 $G_r=0$），式子退化成 $\frac{1}{1+G_cG_o}$——正是第三章那个熟悉的单位负反馈误差传递函数。对得上，说明推导没错。这种"令新加的东西为零，看能不能退回旧公式"的自查手段，考场上很好用。
完全补偿条件：令分子为零， $$1-G_r(s)G_o(s)=0\ \Longrightarrow\ G_r(s)=\frac{1}{G_o(s)}$$ 即前馈装置的传递函数 = 被控对象传递函数的倒数。此时 $E(s)\equiv0$，理论上误差被彻底消灭。

【难点·实现性】为什么这个"完美结果"做不出来？ 因为任何真实的被控对象，其传递函数分母的阶次总是高于（至少不低于）分子的阶次。取倒数以后，分子阶次就高于分母阶次了——这样的环节含有纯微分成分。 为什么纯微分做不出来：分子阶次高于分母，意味着输出要依赖输入的变化率甚至更高阶变化率，等价于输出要在输入变化"之前"就知道它要变——违反因果性（因果性 = 现在的输出只能取决于现在和过去的输入，不能取决于未来）。加上现实中微分器还会把高频噪声放大到淹没信号。所以老师说"复合校正看起来很美好，但实现起来有难度"。 工程上的做法：退而求其次做部分补偿，根据具体要求确定前馈通道传递函数（不追求分子严格为零，只求它足够小）。

7.2 按扰动补偿

【补前置】扰动 $N(s)$：从系统中间某处窜进来的、你不想要的外部影响（电网波动、负载突变、风吹）。

文字版结构图（最简、也是考试最常见的那一种）：

                   N (扰动)
                    │
          ┌─[ Gn ]──┤          ← 前馈补偿通路：测到扰动，提前打进去
          │         ↓
 R ──→ (⊗)─→(⊕)─→[ G1 ]──→(⊕)──→[ G2 ]──┬──→ C
       ↑ (−)                             │
       └─────────────────────────────────┘

说明：扰动 $N$ 从 $G_1$ 与 $G_2$ 之间窜进来（这是最典型的位置，比如电机负载突变）；同时我们把 $N$ 测出来，经前馈装置 $G_n$ 打到 $G_1$ 的输入端。

完整推导（只令 $R=0$，单看扰动这一路；三行）： 1. 设 $G_1$ 的输入为 $x$。$R=0$ 时比较点输出 $=-C$，再和前馈量相加：$x=-C+G_nN$。 2. $G_2$ 的输入 = $G_1$ 的输出 + 扰动：$G_1x+N$。故输出 $C=G_2\,(G_1x+N)=G_2\big(G_1(-C+G_nN)+N\big)$。 3. 展开并把 $C$ 并到左边：$C(1+G_1G_2)=G_2N(1+G_1G_n)$，即 $$\frac{C(s)}{N(s)}=\frac{G_2(1+G_1G_n)}{1+G_1G_2}$$ 4. 完全补偿条件 = 令分子为零（扰动对输出毫无影响）： $$1+G_1(s)G_n(s)=0\ \Longrightarrow\ G_n(s)=-\frac{1}{G_1(s)}$$ - 怎么读这个结果：前馈装置应等于扰动进入点之前那段通道的倒数，再取负号。负号的意思是"反着打"——扰动把输出往上顶多少，前馈就通过 $G_1$ 往下压多少，两路在 $G_2$ 的输入端等大反向、当场抵消，所以扰动根本传不到输出。（注意：$G_2$ 在分子里被约掉了，补偿条件与扰动之后那段 $G_2$ 无关，这一点很多人算完不敢信，其实很自然——两路信号是在 $G_2$ 的输入端就抵消掉的，后面是谁都无所谓。） - 同样的实现性障碍：$G_n=-1/G_1$ 又是一个"倒数"，分子阶次高于分母，物理不可实现，工程上同样退为部分补偿。这与 7.1 是同一个病根。 - 【补前置】梅森公式（上面这套"设中间变量、列方程、消元"是最稳的做法；梅森公式是它的快捷版，这里补一句，免得你在别处看到时发懵）：对信号流图/结构图，从输入到输出的传递函数可写成 $\dfrac{1}{\Delta}\sum_k P_k\Delta_k$，其中 $P_k$ 是第 $k$ 条前向通路的乘积，$\Delta=1-\sum L_a+\sum L_bL_c-\cdots$（$L$ 是各回路增益）叫特征式，$\Delta_k$ 是把与第 $k$ 条通路接触的回路全去掉后剩下的 $\Delta$。用在本例上：从 $N$ 到 $C$ 有两条前向通路——直通的 $P_1=G_2$、绕前馈的 $P_2=G_nG_1G_2$；全图只有一个回路 $L_1=-G_1G_2$，故 $\Delta=1+G_1G_2$，两条通路都与该回路接触故 $\Delta_1=\Delta_2=1$，于是 $\frac{C}{N}=\frac{G_2+G_nG_1G_2}{1+G_1G_2}$——和上面三行消元的结果完全一致。两种做法任选，考场上不熟梅森就老老实实设变量消元，一样得分。

【存疑·待核·关于来源】上面这套推导是我按标准复合控制结构补出来的，不是老师原话。转录此处老师是边看图边口述（"前向通道注意有几条呢？有两条，分别是 $G_n$……如果它俩相等，就可以实现完全补偿"（此处省略号是字幕本身在念符号名时糊掉了、无法还原，不是我删的；正因如此我才不敢照抄原式）），字幕没有留下完整的符号式子，PPT 幻灯片 7 也只有结构图没有推导式。因此：上面的"两条通路相抵"这个思路与老师口述一致，可放心；但具体符号形式（$G_n=-1/G_1$）是按通用结构补的，若题目里扰动的注入位置或前馈的打入位置与此图不同，结论会变，务必按题目的图现推。第 14 讲例题会再带你推一遍。

共同的直觉：无论按输入还是按扰动，思路都是再造一条通道，让它产生的影响与原通道等大反向，两条相加为零。看到"完全补偿"四个字，就去找"令某个分子为零"。

这一讲的骨架（真正要带走的）

第六章是设计课，不是分析课。目标只有一个：写出校正装置 $G_c(s)$ 并说清怎么用电路实现它。原系统一根线都不许动。
P/I/D 各自的功过要能背成一段话：P 提高增益→稳态变好但相对稳定性变差、不改相位；I 提高型别→稳态更好但滞后 $90^\circ$、危害稳定；D 提供正相位→提高 $\gamma$、改善动态，但放大高频噪声且不可单独实现；PI = 原点极点 + 左半平面零点（既提型别又保稳定）；PID 兼具三者。
超前 = PD 的工程实现：$G_c=\dfrac{1+\alpha Ts}{1+Ts}$，$\alpha>1$；三个必背式：$\omega_m=\dfrac{1}{T\sqrt\alpha}$、$\varphi_m=\arcsin\dfrac{\alpha-1}{\alpha+1}$、该点抬高 $10\lg\alpha$ dB。设计枢纽：令 $\omega_c''=\omega_m$。
滞后 = PI 的工程近似实现（不是等于：滞后不提高型别、不能把稳态误差消成零）：$G_c=\dfrac{1+bTs}{1+Ts}$，$0<b<1$；用的是低通滤波（高频衰减）特性，不是滞后相位。两把钥匙：$20\lg b+L'(\omega_c'')=0$ 求 $b$，$\dfrac{1}{bT}=0.1\omega_c''$ 求 $T$。滞后设计不用 $\omega_m$、$\varphi_m$，那是超前才对准的东西。
超前抬相位到 $\omega_c$，滞后把 $\omega_c$ 挪到相位高处——同为增大 $\gamma$，路子相反；超前让系统更快（带宽大、怕噪声），滞后让系统更准更稳（带宽小、$\omega_c$ 降低）。
综合法的核心恒等式：$G_c=G_{\text{校正后}}/G_{\text{校正前}}$，在伯德图上就是两条曲线相减。这是本校最常考的形式。
反馈校正：局部环增益远大于 1 的频段内，特性只由校正装置决定，与被包围环节无关——这就是它能"洗掉硬件毛病"的原因。
复合校正：前馈 + 反馈，令误差传递函数分子为零得完全补偿；按输入补偿要求 $G_r=1/G_o$，因分子阶次高于分母物理不可实现，工程上退为部分补偿。

自测（戳穿假懂版）

第 1 题　给你两个装置：(a) $G_a(s)=\dfrac{1+0.5s}{1+0.05s}$；(b) $G_b(s)=\dfrac{1+0.05s}{1+0.5s}$。分别判断哪个是超前、哪个是滞后，写出各自的两个转折频率，并说出 (a) 的最大相角出现在哪个频率、约多少度。 - 答案要点：(a) 分子时间常数 0.5 > 分母 0.05，零点频率 $1/0.5=2$ 在前、极点频率 $1/0.05=20$ 在后 → 超前，$\alpha T=0.5,\ T=0.05\Rightarrow\alpha=10$，$\omega_m=\frac{1}{T\sqrt\alpha}=\frac{1}{0.05\times3.16}\approx6.3$ rad/s（正是 2 与 20 的几何中项 $\sqrt{40}\approx6.3$），$\varphi_m=\arcsin\frac{9}{11}\approx55^\circ$。(b) 反之为滞后，$b=0.1$，转折频率 2（极点）和 20（零点）。 - 答错说明你卡在哪：认不出谁超前谁滞后 → 回 3.4【难点3】和 0.5 节；转折频率算错 → 回 0.2 节"括号里 s 的系数取倒数"；把 $\omega_m$ 算成两频率的算术平均 (11) → 你没理解"几何中项"，回 4.1。

第 2 题　某系统 $\gamma_0=15^\circ$，要求校正后 $\gamma\ge45^\circ$，且要求响应更快。你打算用超前校正。请说出：$\alpha$ 是先算还是后算？$T$ 靠什么定？为什么不能直接令 $\varphi_m=45^\circ-15^\circ=30^\circ$？ - 答案要点：先由所需超前角定 $\alpha$（$\varphi_m$ 只与 $\alpha$ 有关），再由 $\omega_c''=\omega_m=\frac{1}{T\sqrt\alpha}$ 定 $T$。不能直接取 $30^\circ$，因为 $\omega_c$ 右移后原系统自身的相位还会继续下降，必须加相角追加量 $\varepsilon$（经过 $-40$ dB/dec 取约 $5^\circ$，$-60$ dB/dec 取 $15^\circ\sim20^\circ$）。 - 答错说明你卡在哪：不知道为什么要加 $\varepsilon$ → 说明你还没真懂"超前校正必然把 $\omega_c$ 往右推"这件事，回 4.1【难点4】和 5.1。

第 3 题　有人说："滞后校正就是靠它那个负相位把系统的相角裕度改善的。"这句话错在哪？滞后校正到底靠什么？它对 $\omega_c$ 是抬高还是压低？ - 答案要点：错得彻底。负相位是有害副作用，所以才要把转折频率放到 $\omega_c''$ 的 1/10 以下去躲开它。真正起作用的是高频幅值衰减（低通滤波）：把中高频压低 $|20\lg b|$ dB → $\omega_c$ 降低 → 落到相位还高的区域 → $\gamma$ 变大。 - 答错说明你卡在哪：这是本讲第一大坑（【难点5】）。答错说明你在按名字猜功能，必须回 4.2 重读。

第 4 题　某被控对象 $G_o(s)=\dfrac{10}{s(s+2)}$。若要按输入做完全补偿的复合校正，前馈装置 $G_r(s)$ 应等于什么？它能做出来吗？为什么？ - 答案要点：$G_r(s)=\dfrac{1}{G_o(s)}=\dfrac{s(s+2)}{10}=\dfrac{s^2+2s}{10}$。分子二阶、分母零阶，分子阶次高于分母 → 含纯二阶微分 → 违反因果性、物理不可实现（且会放大高频噪声）。工程上只能做部分补偿。 - 答错说明你卡在哪：写不出倒数 → 回 7.1；写出来了却说"能实现" → 你还没建立"分子阶次不得高于分母"这条铁律，回 7.1 的实现性讨论，这条在第二章（传递函数性质）就出现过。

第 5 题　题目给你一张校正前的开环对数幅频曲线和一张校正后的曲线，让你求校正装置。你的第一步动作是什么？为什么可以这么做？ - 答案要点：两条曲线相减（校正后减校正前），得到校正装置的对数幅频曲线，再由折线的斜率变化点读出转折频率、由低频段位置读出增益，反推 $G_c(s)$。依据是串联时 $G_{后}=G_c\cdot G_{前}$，取对数后乘变加。 - 答错说明你卡在哪：想不到相减 → 回 5.2；相减会了但读不出传递函数 → 那是第五章"由伯德图求传递函数"的欠账，必须回第五章补，本章绕不过去。

第 6 题（概念辨析）　下面三种情形，各应选哪种校正方式？ (a) 系统动态性能已达标，只是稳态精度不够；(b) 系统稳定、稳态靠调增益能达标，但反应太慢、超调太大；(c) 系统本身就不稳定，而且对速度、裕度、精度要求都高。 - 答案要点：(a) 滞后校正（PPT 幻灯片 29 原文的适用情形）；(b) 超前校正；(c) 滞后-超前校正（PPT 幻灯片 50）。 - 答错说明你卡在哪：说明你把三种装置当成三个孤立公式在背，没抓住"超前管快、滞后管准、合体管全都要"这条主线，回第 4 节通读。

第 7 题（带数字的滞后校正参数题）　某未校正系统在 $\omega=1$ rad/s 处的开环对数幅值为 $L'(1)=+20$ dB。现按滞后校正设计，已选定校正后截止频率 $\omega_c''=1$ rad/s。求分度系数 $b$、时间常数 $T$，并写出滞后装置的传递函数 $G_c(s)$；再验算一下你算出的两个转折频率，说明为什么它们都远在 $\omega_c''$ 左边。 - 答案要点： 1. 由幅值抵消条件 $20\lg b+L'(\omega_c'')=0$：$20\lg b+20=0\Rightarrow\lg b=-1\Rightarrow b=0.1$。（含义：原系统在新截止频率处还高出 0 dB 线 20 dB，必须让滞后网络在这里衰减 20 dB，正好把它压到 0 dB。） 2. 由转折频率条件 $\dfrac{1}{bT}=0.1\,\omega_c''=0.1$：$bT=10\Rightarrow T=\dfrac{10}{b}=\dfrac{10}{0.1}=100$ s。 3. $bT=0.1\times100=10$，故 $G_c(s)=\dfrac{1+10s}{1+100s}$。 4. 两个转折频率：极点 $\dfrac1T=0.01$ rad/s，零点 $\dfrac{1}{bT}=0.1$ rad/s。都远在 $\omega_c''=1$ 的左边（差 1～2 个十倍频程），所以那个"相位坑"在 $\omega=1$ 处早已恢复得差不多，滞后相角对 $\gamma$ 的侵蚀很小——这正是【难点5】和 4.2 节"把 $\omega_m$ 躲开 $\omega_c''$"的兑现。顺带验算 $\omega_m=\frac{1}{T\sqrt b}=\frac{1}{100\times0.316}\approx0.032$ rad/s，离 1 有 30 倍远，证明滞后设计根本没打算把 $\omega_m$ 对准 $\omega_c''$。 - 答错说明你卡在哪：$b$ 算成 10（正负号弄反）→ 你没搞清 $b<1$ 意味着 $20\lg b$ 必须是负数（衰减），回 4.2；把 $T$ 和 $bT$ 混了 → 分不清哪个转折频率对应哪个，回 0.2 节"括号里 $s$ 的系数取倒数"；想去用 $\omega_m=\frac{1}{T\sqrt b}$ 令它等于 $\omega_c''$ → 你正好踩了 4.2 节那个【难点·防新坑】，必须回去重读。

第 8 题（辨析：这到底是 PI 还是滞后）　给你 $G_c(s)=\dfrac{1+0.1s}{1+0.5s}$。(a) 它是超前还是滞后装置？(b) 有人说"它就是一个 PI 控制器，所以串进去以后系统的阶跃稳态误差一定变成 0"，这句话对吗？错在哪？(c) 若原系统是 0 型，加了它以后型别是几？ - 答案要点： - (a) 分母时间常数 0.5 > 分子 0.1 → 滞后装置（$T=0.5$，$bT=0.1$，故 $b=0.2<1$，符合）。转折频率：极点 $1/0.5=2$ 在前，零点 $1/0.1=10$ 在后。 - (b) 错。它是滞后网络，只是 PI 的工程近似实现，不是 PI。关键差别：理想 PI 的极点在原点（$s=0$），能把型别加一、把对应输入下的稳态误差消成零；而这个装置的极点在 $s=-1/0.5=-2$，不在原点。$s\to0$ 时 $G_c(0)=\frac{1+0}{1+0}=1$，它对低频增益的贡献是 1，一点都没提高，所以稳态误差既不会归零，甚至连变小都谈不上（要变小得靠调大 $K$，滞后网络只是替你兜住由此带来的稳定性损失）。 - (c) 还是 0 型，型别不变。型别只数开环传递函数里原点极点（$\frac1s$）的个数，这个装置一个都没贡献。 - 答错说明你卡在哪：答"是 PI、误差归零"→ 你正中 3.4 节那条【难点·必须分清】的陷阱，这是本讲第二大坑，也是考"PI 与滞后校正的区别"时的标准送分/送命点，必须回 3.4 重读；(c) 答成Ⅰ型 → 你把"零点极点"和"原点极点"混了，回 0.4 节型别定义和 0.5 节零极点。

知识地图

向前串（这一讲踩在什么上面） - 第二章：传递函数、零点极点、分子阶次不得高于分母（第 7 节完全补偿不可实现的根据）、结构图化简（复合校正求误差传递函数要用）。 - 第三章：稳态误差、系统型别、$K_p/K_v/K_a$（超前/滞后设计的第 1 步"由稳态要求定 K"全靠它）；二阶系统的测速负反馈（反馈校正的原型）。 - 第五章：伯德图、对数幅频/相频、转折频率、dB/dec 斜率、截止频率 $\omega_c$、相角裕度 $\gamma$、幅值裕度、由伯德图反推传递函数（综合法的全部技术含量）。第五章欠账的人，第六章一定学不动，这是硬依赖。

横向串（本讲内部的关系网） - 超前校正 = $\frac{1+\alpha Ts}{1+Ts}(\alpha>1)$ = 抬相位、$\omega_c$ 右移、快、带宽大、怕噪声。它是理想 PD 的工程近似实现（给 PD 挂一个高频极点把它变得可实现），二者相位作用同向。 - 滞后校正 = $\frac{1+bTs}{1+Ts}(0<b<1)$ = 压高频、$\omega_c$ 左移、准、带宽小、抗噪声。它是理想 PI 的工程近似实现（把 PI 的原点极点挪到很低频的 $-1/T$）。注意：形式相似但型别不同——PI 提高型别、可消除稳态误差；滞后不提高型别、只能减小稳态误差。这是最爱考的辨析点，别把"近似实现"读成"等于"。 - PID ⇄ 滞后-超前校正：低频段用滞后管稳态，中高频段用超前管动态（同样是"近似实现"关系，PID 有原点极点、滞后-超前没有）。 - 三种"装在哪"（串联/反馈/复合）× 三种"什么相位"（超前/滞后/滞后-超前）× 两种"怎么设计"（分析法/综合法）——这就是第六章的三维坐标，任何一道题都能定位到某个格子里。

向后串（这一讲通向哪里） - 第 14 讲：本章例题（超前校正求参数、滞后校正求参数、由伯德图求校正装置）。本讲所有公式在那里全部兑现，这一讲的符号没记熟，下一讲会寸步难行。 - 第七章离散系统：也有"校正"一节（据考纲要求为"了解"层次）。 - 考试层面：据《26北方工业大学专业课考点分析》p008 的历年题型表，T7 长期是"根据 BODE 图求传函 + 设计/绘制校正装置"；据 p006，校正常作为大题第二问出现；据《考点分析》p001，简答题常考"校正装置的类型"与"PID 中的积分作用"——这两条简答就是本讲第 2 节和第 3.3 节的文字结论。

本页涉及的知识点（点进去看它还在哪儿讲过 / 考过）

穿越频率（截止频率）相角裕度与幅值裕度校正装置（概念与分类）滞后校正传递函数超前校正稳态误差与误差系数对数坐标图（Bode 图）转折频率与渐近线绘制闭环频率特性与谐振峰值

第13讲　第六章：校正是什么，超前/滞后装置是什么

0. 先把这一讲要用的"旧词"全部翻译一遍（零基础必读）

0.1 开环传递函数 \(G(s)H(s)\)、闭环、前向通道、反馈通道

0.2 伯德图（Bode 图）、对数幅频特性、分贝、dB/dec、转折频率

0.3 截止频率 \(\omega_c\) 与相角裕度 \(\gamma\)

0.4 稳态误差、系统型别、开环增益 K

0.5 零点、极点

0.6 第三章欠账：阻尼、超调量 \(\sigma\%\)、调节时间 \(t_s\)、谐振峰值 \(M_r\)

1. 这一章跟前三章根本不是一回事：从"分析"到"设计"

2. 第六章的地图（先看全景，再钻细节）

3. 基本控制规律：P、PD、I、PI、PID

3.1 比例控制 P

3.2 比例-微分控制 PD

3.3 积分控制 I

3.4 比例-积分控制 PI

3.5 PID

4. 三种校正装置：超前、滞后、滞后-超前

4.1 超前校正装置

4.2 滞后校正装置

4.3 滞后-超前校正装置

5. 串联校正怎么设计：分析法 vs 综合法

5.1 分析法（试探法）

5.3 根轨迹法校正（本讲不展开，但必须交代清楚为什么）

5.2 综合法（期望特性法）

6. 反馈校正

7. 复合校正（复合控制）

7.1 按输入补偿

7.2 按扰动补偿

这一讲的骨架（真正要带走的）

自测（戳穿假懂版）

知识地图

本页涉及的知识点（点进去看它还在哪儿讲过 / 考过）

方式	装在哪	考不考
串联校正	\(G_c(s)\) 和被控对象首尾相接串在前向通道里（一般接在误差检测点之后、放大器之前）	绝对重点
反馈校正	\(G_c(s)\) 放在局部反馈通道里，在主闭环内部再套一个小闭环	少见，酌情掌握
复合校正	在主反馈回路之外再加一条前馈通路，既有反馈又有前馈	偶尔见，低于串联

第13讲 第六章：校正是什么，超前/滞后装置是什么

0. 先把这一讲要用的"旧词"全部翻译一遍（零基础必读）

0.1 开环传递函数 \(G(s)H(s)\)、闭环、前向通道、反馈通道

0.2 伯德图（Bode 图）、对数幅频特性、分贝、dB/dec、转折频率

0.3 截止频率 \(\omega_c\) 与相角裕度 \(\gamma\)

0.4 稳态误差、系统型别、开环增益 K

0.5 零点、极点

0.6 第三章欠账：阻尼、超调量 \(\sigma\%\)、调节时间 \(t_s\)、谐振峰值 \(M_r\)

1. 这一章跟前三章根本不是一回事：从"分析"到"设计"

2. 第六章的地图（先看全景，再钻细节）

3. 基本控制规律：P、PD、I、PI、PID

3.1 比例控制 P

3.2 比例-微分控制 PD

3.3 积分控制 I

3.4 比例-积分控制 PI

3.5 PID

4. 三种校正装置：超前、滞后、滞后-超前

4.1 超前校正装置

4.2 滞后校正装置

4.3 滞后-超前校正装置

5. 串联校正怎么设计：分析法 vs 综合法

5.1 分析法（试探法）

5.3 根轨迹法校正（本讲不展开，但必须交代清楚为什么）

5.2 综合法（期望特性法）

6. 反馈校正

7. 复合校正（复合控制）

7.1 按输入补偿

7.2 按扰动补偿

这一讲的骨架（真正要带走的）

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本页涉及的知识点（点进去看它还在哪儿讲过 / 考过）

第13讲　第六章：校正是什么，超前/滞后装置是什么