图 8-45 非线性系统结构图
\[
G(s)=\frac{10K}{s(Ts+1)(0.1s+1)}
\]
其频率特性为
\[
G(\mathrm{j}\omega)=\frac{10K}{\mathrm{j}\omega(\mathrm{j}T\omega+1)(\mathrm{j}0.1\omega+1)}=\frac{-10K(0.1+T)\omega-\mathrm{j}10K(1-0.1T\omega^2)}{\omega(1+T^2\omega^2)(1+0.01\omega^2)}
\]
非线性环节的负倒描述函数为
\[
-\frac{1}{N(A)}=-\frac{\pi A}{4M}=-\frac{\pi A}{4\sqrt{2}}
\]
绘制 \(G(\mathrm{j}\omega)\) 与 \(-1/N(A)\) 曲线如图 8-46 所示。由图 8-46 可见，\(G(\mathrm{j}\omega)\) 与 \(-1/N(A)\) 曲线存在交点，且当振幅增大时，\(-1/N(A)\) 曲线从不稳定区域进入稳定区域，所以系统受扰后的运动呈现稳定自振。
由于输出自振振幅 \(A_c=0.1\)，故 \(G(\mathrm{j}\omega)\) 与 \(-1/N(A)\) 曲线交点处的负倒描述函数为
\[
-\frac{1}{N(A)}=-\frac{\pi A}{40\sqrt{2}}
\]
图 8-46 系统稳定性分析
因交点在负实轴上，必有 \(\mathrm{Im}\,G(\mathrm{j}10)=0\)，因此
\[
-90^{\circ}-\arctan l-\arctan 10T=-180^{\circ}
\]
解得 \(T=0.1\)。
由于输出端到非线性环节输入端的传递函数为 \(\dfrac{10}{0.1s+1}\)，其幅频特性为
\[
\left|\frac{10}{\mathrm{j}0.1\omega+1}\right|_{\omega=10}=5\sqrt{2}
\]
因此可得非线性环节一端的自振幅值为 \(A=5\sqrt{2}A_c=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)。令
\[
\mathrm{Re}\,G(\mathrm{j}\omega)\Big|_{\omega=10}=-\frac{1}{N(A)}\Big|_{A=\frac{\sqrt{2}}{2}}
\]
即
\[
-\frac{K}{2}=-\frac{\pi}{8}
\]
可解得 \(K=\dfrac{\pi}{4}=0.786\)。
最后，利用下列 MATLAB 程序，可得非线性系统的相轨迹和输出曲线分别如图 8-47、图 8-48 所示。
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