考研851 自动控制原理
题海 · 题解 · p.248

(4) 系统(4)的频率特性为

\[ G(\mathrm{j}\omega) = \frac{K(1+\mathrm{j}\tau_1\omega)(1+\mathrm{j}\tau_2\omega)}{-\mathrm{j}\omega^3} \]
\[ = -\frac{K(\tau_1+\tau_2)}{\omega^2} + \mathrm{j}\frac{K(1-\tau_1\tau_2\omega^2)}{\omega^3} \]

开环幅相特性曲线的起点：\(G(\mathrm{j}0_+) = -\infty + \mathrm{j}\infty\)；终点：\(G(\mathrm{j}\infty) = 0\)。

与实轴的交点：令 \(\mathrm{Im}[G(\mathrm{j}\omega)] = 0\)，解得

\[ \omega_x = 1/\sqrt{\tau_1\tau_2}, \quad G(\mathrm{j}\omega_x) = \mathrm{Re}[G(\mathrm{j}\omega)] = -K(\tau_1+\tau_2)\tau_1\tau_2 \]

其中 \(\omega_x\) 为 \(G(\mathrm{j}\omega)\) 与实轴交点处的频率。概略开环幅相特性曲线在第Ⅱ和第Ⅲ象限间变化，如图5-14(d)所示。

(5) 系统(5)的频率特性为

\[ G(\mathrm{j}\omega) = \frac{K}{\mathrm{j}\omega(\mathrm{j}T\omega - 1)} = -\frac{KT}{1+T^2\omega^2} + \mathrm{j}\frac{K}{\omega(1+T^2\omega^2)} \]

开环幅相曲线的起点：\(G(\mathrm{j}0_+) = -KT + \mathrm{j}\infty\)；终点：\(G(\mathrm{j}\infty) = 0\)。

与实轴和虚轴均无交点，概略开环幅相特性曲线在第Ⅱ象限内变化，如图5-14(e)所示。

图:自控原理题海_p248_fig1

图5-14 题5-11各系统的概略开环幅相特性曲线

图中标注： - (a) 起点 \(\omega=0_+\)，虚线为渐近圆弧，与实轴交点标注 \(-2.5K\)、\(-6.4K\)，\(\omega_x=0.25\) - (b) \(\omega_x=0.41\)，\(-0.035K\)，\(\omega_y=2.24\)，\(0.067K\) - (c) \(0.0092K\)，\(-0.013K\)，\(\omega_y=9.59\)，起点 \(\omega=0_+\) - (d) 起点 \(\omega=0_+\)，与实轴交点 \(-K\tau_1\tau_2(\tau_1+\tau_2)\)，\(\omega_x=1/\sqrt{\tau_1\tau_2}\) - (e) 起点 \(\omega=0_+\)，\(-KT\) - (f) 起点 \(\omega=0_+\)

(6) 系统(6)的频率特性为

\[ G(\mathrm{j}\omega) = \frac{K(1+\mathrm{j}\omega)}{-\omega^2} = -\frac{K}{\omega^2} - \mathrm{j}\frac{K}{\omega} \]

开环幅相特性曲线的起点：\(G(\mathrm{j}0_+) = -\infty - \mathrm{j}\infty\)；终点：\(G(\mathrm{j}\infty) = 0\)。

与实轴和虚轴均无交点，且概略开环幅相特性曲线在第Ⅲ象限内变化，如图5-14(f)所示。

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