由系统在单位斜坡输入下的稳态误差要求 \(e_{ss}(\infty)=\dfrac{1}{K_v}=0.05\),即 \(K_v=20\);故取 \(K=10\),则待校正系统的传递函数为
\[G_0(s) = \frac{20}{s(0.5s+1)}\]
(1) 绘制出待校正系统的对数幅频渐近特性曲线,如图 6-52 中 \(L'(\omega)\) 所示。由图6-52得待校正系统的截止频率 \(\omega_c'=6.32\text{rad/s}\),计算出待校正系统的相角裕度为
\[\gamma' = 180° - 90° - \arctan 0.5\omega_c' \big|_{\omega_c'=6.32} = 17.56°\]
表明待校正系统稳定,考虑采用超前校正。
图 6-52 系统校正前后开环对数幅频渐近特性(MATLAB)
(2) 确定超前网络参数 \(a\) 和 \(T\)。选取 \(\omega_c''=10\text{rad/s}\) 时,由图6-52可以测得 \(L'(\omega_c'')=-7.96\text{dB}\);再由 \(10\lg a=-L'(\omega_c'')\),解得 \(a=6.25\)。令 \(T=\dfrac{1}{\omega_c''\sqrt{a}}\),求得 \(T=0.04\),于是串联超前校正网络的对数幅频特性曲线 \(L_c(\omega)\) 如图6-52所示,其传递函数为
\[aG_c(s) = \frac{1+aTs}{1+Ts} = \frac{1+0.25s}{1+0.04s}\]
将放大器增益提高 \(a\) 倍,校正后系统的对数幅频渐近特性曲线 \(L''(\omega)\) 如图6-52所示,其传递函数为
\[aG_c(s)G_0(s) = \frac{20(0.25s+1)}{s(0.5s+1)(0.04s+1)}\]
(3) 验算性能指标
\[\gamma'' = 180° + \angle aG_c(j\omega_c'')G(j\omega_c'')\]
\[= 90° + (\arctan 0.25\omega_c'' - \arctan 0.5\omega_c'' - \arctan 0.04\omega_c'')\big|_{\omega_c''=10}\]
\[= 57.71° > 45°\]
因为
\[\varphi(\omega) = \arctan 0.25\omega - 90° - \arctan 0.5\omega - \arctan 0.04\omega > -180°\]
故幅值裕度 \(h(\text{dB}) \to \infty\),所以各项性能指标均满足要求。