4-11

设闭环系统根轨迹如图 4-34 和图 4-35 所示,试确定下述情况下开环根轨迹增益 \(K^*\) 的范围:(1) 闭环系统有复数极点;(2) 闭环系统不稳定;(3) 只有一个闭环极点为实数。

图 4-34 闭环系统根轨迹图

图 4-35 闭环系统根轨迹图

解 图 4-34 系统:

(1) 闭环系统有复数极点情况下,开环根轨迹增益 \(K^*\) 的范围为 \(0<K^*<K_3^*\)。

(2) 闭环系统不稳定情况下,开环根轨迹增益 \(K^*\) 的范围为 \(0<K^*<K_1^*\),\(0<K^*<K_2^*\);由于 \(K_1^*>K_2^*\),故 \(0<K^*<K_2^*\) 时闭环系统不稳定。

(3) 只有一个闭环极点为实数情况下,开环根轨迹增益 \(K^*\) 的范围为 \(0<K^*<K_3^*\)。

图 4-35 系统:

(1) 开环根轨迹增益 \(K^*\) 在任何范围都可使闭环系统有复数极点。

(2) 闭环系统不稳定情况下,开环根轨迹增益 \(K^*\) 的范围为 \(K_2^*<K^*<K_3^*\) 或 \(K^*>K_4^*\)。

(3) 只有一个闭环极点为实数情况下,开环根轨迹增益 \(K^*\) 的范围为 \(K^*>K_5^*\)。

4-12

已知系统开环传递函数如下,试概略绘制相应的常规根轨迹,并确定使闭环系统稳定的 \(K^*\) 范围。

(1) \(G(s)H(s)=\dfrac{K^*}{s(s+1)(s+4)}\);

(2) \(G(s)H(s)=\dfrac{K^*(s+1)}{s^2(s+4)(s+6)}\);

(3) \(G(s)H(s)=\dfrac{K^*}{s(s+4)(s^2+2s+2)}\)。

解 (1) 系统(1)的开环传递函数 \(G(s)H(s)=\dfrac{K^*}{s(s+1)(s+4)}\)

① 实轴上的根轨迹:\([0,-1]\),\([-4,-\infty)\)。

② 根轨迹的渐近线:\(\sigma_a=\dfrac{-1-4}{3}=-1.67\),\(\varphi_a=\pm\dfrac{\pi}{3},\pi\)。

③ 根轨迹的分离点:根轨迹的分离点坐标满足