第14讲　第六章例题课：把伯德图读回传递函数，把校正装置真的设计出来

怎么读这一讲：

• 这是做题课。第13讲讲"校正是什么、超前/滞后装置长什么样"，这一讲讲"具体数字怎么算出来"。
• 三道题难度递增：题一"看图说话"，题二"完整设计一个滞后校正"（第六章最经典的大题），题三"给定 PI 结构定参数 + 判稳 + 稳态误差"。
• 第 1 节不能跳。 三道题共用同一套读图工具，第 1 节从零把工具装好。工具不装，后面每一步都是天书。
• 全讲标了 7 处【难点】、7 处【你可能会以为】，还有大量【补前置】。第一遍看不懂是正常的，尤其题二的 3.4 和 3.5 两小节，那是本讲最硬的地方。

1. 工具箱（零基础从这里开始）

1.0 先把"开环 / 闭环"这几个地基词说清楚（全讲最高频）

这几个词后面每一节都在用，先当场解释，不许它们裸奔。

• 反馈：把系统的输出量测回来，和输入指令做比较，用两者之差（误差）去驱动系统。空调就是这样：测室温、和你设的温度比、差多少就烧多久。带反馈的系统叫反馈系统（也叫闭环系统）——信号走一圈能绕回起点，形成一个闭合的环。
• 前向通道：从"误差"出发、一路往前走到"输出"的那条主通路（控制器、放大器、被控对象都在这条路上）。反馈那条测回来的支路叫反馈通道。串联校正就是把校正装置插在前向通道里。
• 单位反馈系统：反馈通道上什么都不加（传递函数 = 1），即把输出原封不动地拿回来做比较。例题三题干里"单位反馈"就是这个意思，它保证"输出与输入之差"就是误差本身。
• 开环 / 开环传递函数：把反馈那条线断开，让信号只从误差点出发、沿前向通道走一圈到反馈线断口为止，这一整段的传递函数叫开环传递函数（本讲写作 \(G_0(s)\) 或 \(G(s)\)）。注意：它不是"另一个系统"，而是同一个闭环系统被断开来观察的那条通路——频域法的全部分析（伯德图、\(\omega_c\)、相角裕度）都画在开环传递函数上，再据此判断闭环系统好不好。这是频域法最容易懵的一点：画的是开环图，判的是闭环性能。
• 闭环传递函数 / 闭环特征方程：反馈接上后，从输入到输出的总传递函数叫闭环传递函数，单位反馈时为 \(\dfrac{G(s)}{1+G(s)}\)；令它的分母等于零得到的方程 \(1+G(s)=0\)（去分母后是一个多项式 \(=0\)）叫闭环特征方程，它的根就是闭环极点，根全在复平面左半边系统才稳定（第三章内容，4.6 节会用到）。

1.1 传递函数：先当成"放大器说明书"

传递函数 \(G(s)\)：一个描述"输入进去、输出出来"关系的式子。现在你只需要把它当成一份放大器的说明书——它告诉你，信号变化慢的时候系统放大多少倍，信号变化快的时候放大多少倍，以及输出比输入"晚"了多少。

里面的 \(s\) 是拉普拉斯变换的复变量。本讲所有的画图与设计计算，你都不需要会拉氏变换（唯一的例外是 4.7 节稳态误差公式里会出现一个拉氏记号 \(R(s)\)，到那里当场解释，不用提前学）。这里只需要一条换算：

• 这式子在说什么：想知道系统对"每秒振荡 \(\omega\) 弧度的正弦波"是什么反应，就把式子里所有 \(s\) 换成 \(j\omega\)。
• 符号是什么：\(\omega\) 是角频率，单位 rad/s（弧度每秒），表示信号抖得多快；\(j\) 是虚数单位，\(j^2=-1\)（数学里写 \(i\)，工程里写 \(j\)，因为 \(i\) 被电流占用了）。
• 怎么用：算出来的 \(G(j\omega)\) 是一个复数。复数 \(a+jb\) 可以画成平面上的一支箭头（横坐标 \(a\)、纵坐标 \(b\)）。箭头长度叫模，写作 \(|G(j\omega)|\)，就是"放大多少倍"；箭头与横轴的夹角叫相角，写作 \(\angle G(j\omega)\)，就是"相位挪了多少度"。

【补前置】"幅值""模""放大倍数"是同一件事；"相角""辐角""相位"也是同一件事。题目里会混着用，别被词吓住。

1.2 伯德图：一张图两条曲线

伯德图就是把上面两件事画成曲线：

• 上图：对数幅频特性 \(L(\omega)=20\lg|G(j\omega)|\)，纵轴单位分贝 dB。
• 下图：对数相频特性 \(\varphi(\omega)=\angle G(j\omega)\)，纵轴单位度。
• 横轴：\(\omega\)，但按对数刻度——横轴上等距的一段代表"频率乘 10"，这一段叫十倍频程（dec）。所以 0.1、1、10、100 在图上是等间距的。

【补前置】\(\lg\) 是常用对数，\(\lg x\) 的意思是"10 的几次方等于 \(x\)"。要用的就这几个：\(\lg1=0\)、\(\lg10=1\)、\(\lg100=2\)、\(\lg0.1=-1\)、\(\lg2\approx0.30\)、\(\lg5\approx0.70\)。运算律：\(\lg(ab)=\lg a+\lg b\)，\(\lg\frac{a}{b}=\lg a-\lg b\)。

为什么非要取对数还乘 20？ 因为几个环节串联时，总放大倍数是各环节相乘。取了对数，乘法变加法，画图就变成几段直线相加，手算才可能。这就是伯德图存在的全部理由。

1.3 折线画法：本讲最核心的手艺

真实曲线是弯的，工程上用折线（渐近线）近似。规则只有三条。

规则一（低频段）：把开环传递函数写成尾 1 标准型（每个括号都写成 \(Ts+1\) 的样子）：

• 这式子在说什么：一个典型的开环传递函数长这样。
• 符号是什么：\(K\) 叫开环增益（信号变化极慢时的放大能力，直接决定稳态精度）；\(\nu\) 是分母里 \(s\) 的个数，叫系统型别（\(\nu=0\) 叫 0 型，\(\nu=1\) 叫 I 型，\(\nu=2\) 叫 II 型）；每个 \(T_i\) 是时间常数，单位秒，代表这个环节"反应有多迟钝"（\(T\) 大 = 迟钝）。
• 怎么用：低频段曲线是一条斜率 \(-20\nu\) dB/dec 的直线，并且这条直线（或它向右的延长线）必过点 \((\omega=1,\ L=20\lg K)\)。

【补前置】为什么必过 \((1,\ 20\lg K)\)？ 低频时每个 \(T_i\omega\) 都远小于 1，所以每个括号 \(\approx1\)，于是

横轴是 \(\lg\omega\)，所以这是一条斜率 \(-20\nu\) 的直线；令 \(\omega=1\)（\(\lg1=0\)）就得到 \(L=20\lg K\)。这两行后面三道题反复用，务必看懂。

规则二（转折频率）：每个括号 \((Ts+1)\) 在 \(\omega=1/T\) 处"转折"一次，这个频率叫转折频率（转角频率、交接频率，三个词一个意思）。

• 分母上的 \((Ts+1)\) 叫惯性环节（"惯性"= 系统跟不上快信号，像重车刹不住），过了转折频率斜率减 20。
• 分子上的 \((\tau s+1)\) 叫一阶微分环节，过了转折频率斜率加 20。

【补前置】"微分"在物理上是什么？ 微分就是"求变化率"（导数）。微分环节对信号变化的快慢起反应：信号变得越快，它的输出越大；信号不动（恒定值）时它输出为零。所以它有预判性——不是等误差累积起来才动作，而是看到误差正在急速变大就提前加大控制量。正因为"先于信号本身作出反应"，它在频域上提供正相角（超前相角），\(\omega\) 越大提供的正相角越多（这就是斜率加 20、相角 \(+\arctan(\tau\omega)\) 的由来）。第13讲的超前网络 \(\frac{1+aTs}{1+Ts}\ (a>1)\) 之所以能给系统补相角，靠的正是分子这个微分因子。它与积分环节（分母的 \(s\)，作用是"把输入一直累加起来"，提供 \(-90^\circ\) 滞后）正好是一对相反的东西：一个看未来趋势、一个记过去总账。别把"微分环节"只当成画图时让斜率往上掰的符号。

规则三（斜率累加）：从左往右走，每遇一个转折频率就按规则二加减一次，整条折线就这么一段一段拼出来。

【难点一】斜率是"变化量"不是某个环节的"绝对属性"。 零基础最常错的就是把 \(-40\) 当成"这个环节的斜率"。不是。\(-40\) 是当前这一段折线的总斜率，等于低频斜率加上左边所有已遇转折的增减。反过来做题（看图反推）时，你要盯的是相邻两段的斜率差：差 \(-20\) 是遇到一个惯性环节，差 \(+20\) 是遇到一个一阶微分环节。

1.4 直线关系：把"看图"变成"算数"

伯德图上每一段都是直线，所以知道一段的斜率和它上面一个点，就能算这一段上任何一点。公式就是初中的斜率公式，只是横坐标要用 \(\lg\omega\)：

• 这式子在说什么：同一段折线上取两点，纵坐标之差除以横坐标（\(\lg\omega\)）之差，等于这段的斜率。
• 符号是什么：\(L_1,L_2\) 是两点的分贝值，\(\omega_1,\omega_2\) 是两点的频率，\(k\) 是这段的斜率（\(-20\)、\(-40\) 之类）。
• 怎么用：三个已知量求第四个。本讲一大半计算就是在反复用这一个式子。

1.5 三个必须先弄懂的性能名词

• 截止频率 \(\omega_c\)（也叫穿越频率）：使 \(|G(j\omega)|=1\) 的那个频率，也就是幅频折线穿过 0 dB 线的频率（因为 \(20\lg1=0\)）。物理意义：系统"跟得动"的频率上限，\(\omega_c\) 越大，响应越快。
• 相角裕度 \(\gamma\)：\(\gamma=180^\circ+\varphi(\omega_c)\)，其中 \(\varphi(\omega_c)\) 是截止频率处的相角（负数）。物理意义：离"自激振荡"还有多远的安全余量。\(\gamma\) 越大越稳、超调越小；\(\gamma\le0\) 不稳定。工程上常要求 \(30^\circ\sim60^\circ\)。

【补前置】这句话里有两个词要先解释： - 自激振荡：系统没人给它输入，自己就来回摆个不停（甚至越摆越大）。物理来源是负反馈"反过来了"——信号绕环一圈回来时若正好被推迟半个周期（相角 \(-180^\circ\)）且大小没衰减（幅值 = 1），减法就变成了加法，扰动自我放大，系统失稳。所以 \(\gamma=180^\circ+\varphi(\omega_c)\) 度量的就是"在幅值恰好等于 1 的那个频率上，相角离要命的 \(-180^\circ\) 还差多少度"。 - 超调：给系统一个阶跃指令（比如让温度从 20 度升到 25 度），输出第一次冲过头、超出目标值的那部分叫超调，通常用超调量百分比表示。振荡越厉害，超调越大。\(\gamma\) 小 = 离自激振荡近 = 响应振荡、超调大。 - 最小相位系统：所有零点、极点都在复平面左半边的系统。它的关键性质是幅频曲线和相频曲线一一对应——看幅频折线就能唯一反推出传递函数。题一说"已知某最小相位系统的对数幅频特性曲线，求传递函数"，正是靠这条性质才有唯一答案。

【你可能会以为】以为"最小相位"是句可有可无的废话。不是。如果不是最小相位（比如有右半平面零点），同一张幅频图可以对应好几个不同的传递函数，题目就无解了。这四个字是解题的许可证。

【补前置】零点、极点：把传递函数写成分式，使分子等于零的 \(s\) 值叫零点，使分母等于零的 \(s\) 值叫极点。例如 \(\frac{1}{5s+1}\) 的极点是 \(s=-1/5\)。本讲你只需要记住对应关系：分母括号 = 极点 = 惯性环节 = 斜率往下掰；分子括号 = 零点 = 微分环节 = 斜率往上掰。

2. 例题一：由伯德图反推校正前、校正后与校正装置的传递函数

2.1 题目

已知某最小相位系统校正前（图中实线）与校正后（图中虚线）的对数幅频特性曲线，求校正前系统的开环传递函数 \(G_0(s)\)，并写出串联校正装置 \(G_c(s)\) 的传递函数。

图上能读到的信息（转录里老师逐个点名的）：

• 实线（校正前）：低频段斜率 \(-20\)；转折频率在 2 和 20；在 \(\omega=0.1\) 处 \(L=60\) dB；斜率一路下降 \(-20\to-40\to-60\)。
• 虚线（校正后）：低频段斜率仍是 \(-20\)；转折频率依次是 \(0.2\)（\(-20\to-40\)）、\(0.9\)（\(-40\to-20\)）、\(20\)（\(-20\to-40\)）、\(60\)（\(-40\to-60\)）；在 \(\omega=0.1\) 处 \(L=50\) dB。

2.2 什么叫"串联校正"

校正：原来的系统（叫被控对象或固有部分）性能不达标，我们在它前面串一个自己设计的小环节，把整体性能拉到要求。这个小环节叫校正装置 \(G_c(s)\)。

串联校正就是把 \(G_c(s)\) 和 \(G_0(s)\) 首尾相接接在前向通道里。串联的传递函数相乘：

• 这式子在说什么：校正后的开环传递函数 = 校正装置 × 校正前的开环传递函数。
• 符号是什么：\(G_0\) 是校正前（实线），\(G\) 是校正后（虚线），\(G_c\) 是要求的装置。
• 怎么用：本题全部的窍门就是把它反过来除：\(G_c(s)=\dfrac{G(s)}{G_0(s)}\)。

【补前置】为什么串联是相乘？ 传递函数就是"输出/输入"的比。第一个环节输出 = 输入 × \(G_c\)；这个输出又当第二个环节的输入，最终输出 = 输入 × \(G_c\) × \(G_0\)。比值相乘，就这么简单。

2.3 读实线：校正前的结构

• 低频斜率 \(-20\) \(\Rightarrow\) \(-20\nu=-20\) \(\Rightarrow\) \(\nu=1\)，I 型系统，分母有一个 \(s\)。
• 转折频率 2 处斜率由 \(-20\) 变 \(-40\)，差 \(-20\) \(\Rightarrow\) 一个惯性环节，时间常数 \(T=1/2\)，写成 \(\left(\frac{s}{2}+1\right)\)。
• 转折频率 20 处同理 \(\Rightarrow\) \(\left(\frac{s}{20}+1\right)\)。
• 全程斜率只降不升 \(\Rightarrow\) 没有一阶微分环节（分子里没有括号）。

只剩 \(K_0\) 未知。

2.4 定增益 \(K_0\)

低频段（\(\omega<2\)）是斜率 \(-20\) 的直线，\(\omega=0.1\) 时 \(L=60\)；这条直线过 \((1,\ 20\lg K_0)\)。用 1.4 的直线关系：

分母 \(=0-(-1)=1\)，所以 \(20\lg K_0=60-20=40\)，\(\lg K_0=2\)：

【难点二】"延长线"三个字要当真。 本题 \(\omega=1\) 落在第一个转折频率 2 的左边，\(\omega=1\) 处的实际曲线就在低频那段直线上，所以怎么算都对。但如果第一个转折频率比 1 还小（下一小节的虚线正是这种情况），\(\omega=1\) 处的实际曲线已经离开低频直线了。这时 \(20\lg K\) 对应的是低频渐近线延长线在 \(\omega=1\) 处的高度，不是实际曲线的高度。这是本题最容易翻车的一步。

2.5 读虚线：校正后的结构

• 低频斜率仍 \(-20\) \(\Rightarrow\) 仍是 I 型。这条信息本身有意义：校正没有改变系统型别，所以稳态误差的"档次"没变。
• \(0.2\)：\(-20\to-40\)，差 \(-20\) \(\Rightarrow\) 惯性环节 \(\left(\frac{s}{0.2}+1\right)=(5s+1)\)。
• \(0.9\)：\(-40\to-20\)，差 \(+20\) \(\Rightarrow\) 一阶微分环节 \(\left(\frac{s}{0.9}+1\right)\approx(1.11s+1)\)。
• \(20\)：\(-20\to-40\) \(\Rightarrow\) \(\left(\frac{s}{20}+1\right)\)。
• \(60\)：\(-40\to-60\) \(\Rightarrow\) \(\left(\frac{s}{60}+1\right)\)。

2.6 定 \(K\)：这里就是 2.4 说的那个坑

虚线在 \(\omega=0.1\) 处 \(L=50\) dB，\(0.1\) 仍在第一个转折频率 \(0.2\) 的左边，所以它在低频渐近线上。把这条 \(-20\) 的低频渐近线延长到 \(\omega=1\)：

（转录里 ASR 把它写成"316"，是漏了小数点；按上式重算就是 31.6。）

【存疑·待核】这里笔记和视频的做法不一样，先说清楚，免得你对着视频以为自己看错了。 转录里老师求 \(K\) 的步骤是"用三个直线关系"沿着折线逐段推进：先由 \((0.1,50)\) 和 \(\omega=0.2\) 求出 \(0.2\) 处的高度 \(y_1\)，再按 \(-40\) 推到 \(0.9\) 处的 \(y_2\)，最后由 \(y_2\) 按 \(-20\) 推到 \(\omega=1\) 得 \(20\lg K\)。这套走法和他最后报出的 \(K=31.6\) 对不上：按他的走法逐段算是 \(50-6.0-26.1-0.9\approx16.96\) dB，对应 \(K\approx7.05\)。而按开环增益的标准定义（低频渐近线延长线在 \(\omega=1\) 处的高度）算得 \(30\) dB，即 \(K=31.6\)，与他给出的答案一致。本讲按标准定义给出，结论 31.6 与老师答案相同，只是路径不同。 究竟是老师口述时把步骤讲串了、还是 ASR 漏字导致步骤失真，需要回看原视频画面确认；但结果的对错是确定的——见下面【你可能会以为】。

【你可能会以为】以为要顺着折线一段一段爬到 \(\omega=1\)：先从 0.1 按 \(-20\) 爬到 0.2，再按 \(-40\) 爬到 0.9，再按 \(-20\) 爬到 1，把爬到的高度当作 \(20\lg K\)。错。 那样算出来的是实际曲线在 \(\omega=1\) 处的高度（约 16.9 dB，对应 7.0），不是 \(K\)。\(K\) 的定义只跟最低频那一段渐近线有关——因为 \(20\lg K\) 来自 \(|G|\approx K/\omega^{\nu}\) 这个低频近似，而这个近似只在所有转折频率之前才成立。这一条错了，后面校正装置全错，是本题的分水岭。

【难点三】两个数（7.0 与 31.6）都"算得出来"，为什么只有一个是 \(K\)？ 因为伯德图上任何一点的高度都有意义，但只有低频渐近线的延长线才代表"低频（近似直流）放大能力"，那才是开环增益的定义。做题时问自己一句：我用的是不是第一段直线？不是就重来。

2.7 相除得校正装置

化成数字形式：

怎么来的：\(G_0\) 里的 \(\left(\frac{s}{2}+1\right)\) 在分母，除以它等于把它乘到分子上；两式共有的 \(s\) 和 \(\left(\frac{s}{20}+1\right)\) 约掉；增益 \(31.6/100=0.316\)。

【你可能会以为】以为"校正装置一定是超前或滞后网络那个标准模样"。这里它是两个零点两个极点的组合（一个滞后段 + 一个超前段），本质是滞后-超前校正。考试里 \(G_c\) 长什么样完全由两张图之差决定，不要硬往模板上套。

2.8 这题在考什么

老师明确说：这是校正里最基本的题型，而且一般不会单独考，因为太简单；通常求出 \(G_c\) 之后会接着问校正后系统的相角裕度、截止频率或稳态误差——现在的考题越来越综合，一道题串好几章。所以做完这题要顺手会算：\(\omega_c\)（令 \(|G|=1\)）、\(\gamma\)（\(180^\circ+\varphi(\omega_c)\)）、稳态误差（看型别和 \(K\)）。

3. 例题二：完整设计一个串联滞后校正（本章最经典大题）

3.1 题目

已知反馈系统的开环传递函数（即校正前的被控对象）

设计校正网络，使校正后系统的截止频率 \(\omega_c=0.7\) rad/s，相角裕度 \(\gamma\ge40^\circ\)。

3.2 三步走框架（记住框架比记数字重要）

1. 算固有性能：先算校正前的 \(\omega_{c0}\)、\(\gamma\)，与要求对比，据此判断该用超前还是滞后。
2. 定参数：写出所选网络的标准形式，把参数算出来。
3. 校验：把参数代回去，验算校正后的 \(\omega_c\) 和 \(\gamma\) 是否真的达标。

【难点四】第 1 步的判据要理解，不能死记。

• 若要求 \(\omega_c\) 变大（要更快）且 \(\gamma\) 要提高，用超前校正——超前网络在 \(\omega_c\) 附近提供正相角把裕度顶上去，同时它抬高高频幅值，\(\omega_c\) 自然右移。
• 若要求 \(\omega_c\) 变小（可以慢一点）且 \(\gamma\) 变化量不大，用滞后校正——滞后网络靠"高频段把幅值压下去"让曲线提前穿越 0 dB，\(\omega_c\) 左移；而 \(\omega_c\) 左移后落在原系统相角还没恶化的地方，裕度就自然够了。

滞后校正提高裕度靠的不是它自己提供相角（它提供负相角，反而有害），而是靠把工作点搬到左边。这是零基础最容易想反的一点。

3.3 第一步：算固有性能，判定用滞后

画 \(G_0\) 的伯德图：I 型（分母一个 \(s\)），\(K=5\)，转折频率 \(1/1=1\) 与 \(1/0.2=5\)。

• 低频渐近线：斜率 \(-20\)，过 \((1,\ 20\lg5)=(1,\ 14\ \text{dB})\)（\(20\lg5=20\times0.7=14\)）。
• 从 \(\omega=1\) 起斜率变 \(-40\)，从 \(\omega=5\) 起变 \(-60\)。

求 \(\omega_{c0}\)：0 dB 线在 1 与 5 之间被穿越（\(\omega=1\) 处还有 \(+14\) dB，再往右按 \(-40\) 掉）。直线关系：

要求的 \(\omega_c=0.7<2.2\)，要求系统变慢——符合滞后校正适用场景的第一条。

再看裕度：如果把截止频率搬到 \(\omega=0.7\)，原系统在这一点的相角是

【补前置】这个相角式子怎么来的？ 三条规则，够用了： - 分母的一个 \(s\)（积分环节，作用是"把输入一直累加起来"）固定贡献 \(-90^\circ\)。 - 分母上每个惯性环节 \((Ts+1)\) 贡献 \(-\arctan(T\omega)\)。 - 分子上每个一阶微分环节 \((\tau s+1)\) 贡献 \(+\arctan(\tau\omega)\)。 - 各环节相角直接相加（因为复数相乘时辐角相加）。

\(\arctan x\) 就是"正切等于 \(x\) 的那个角"，计算器上的 \(\tan^{-1}\) 键。\(\arctan0.14=8.0^\circ\)，\(\arctan0.7=35.0^\circ\)。

3.4 【难点五】"多出 5 度就能用滞后"这个判据到底在说什么

要求 \(\gamma\ge40^\circ\)，而在新截止频率 0.7 处原系统已经有 \(47^\circ\)，多出 7 度。

滞后网络本身会在 \(\omega_c\) 处引入一点负相角，把这 47 度往下拉。只要拉的量小于 7 度，最终还能守住 40 度。而滞后网络的两个转折频率被我们故意放在远低于 \(\omega_c\) 的地方，到了 \(\omega_c\) 它的滞后相角已经衰减得很小，"小于 7 度"是办得到的（3.6 节的校验里实际是 4.9 度）。

所以工程判据是：在期望的新截止频率处，原系统的相角裕度比要求值大 5 度以上（这 5 度是留给滞后网络的相角损失），就可以用滞后校正。 PPT 在滞后网络设计步骤里是同样的思路：预留一个滞后相角补偿量，把滞后相角控制在小范围内。

【你可能会以为】以为"滞后校正会让系统更不稳定，因为它叫滞后"。恰恰相反：它牺牲快速性（\(\omega_c\) 变小）换稳定性和稳态精度。名字里的"滞后"说的是网络自身的相角特性，不是"对系统的最终效果"。

3.5 第二步：定参数 \(b\) 和 \(T\)

滞后网络标准形式（与 PPT 一致）：

• 这式子在说什么：一个"低频原样放行、高频被衰减"的网络。
• 符号是什么：\(T\) 是时间常数（秒）；\(b\) 叫分度系数，\(b<1\)。它有两个转折频率：\(\omega=\dfrac{1}{T}\)（来自分母，惯性，斜率变 \(-20\)）和 \(\omega=\dfrac{1}{bT}\)（来自分子，微分，斜率回到 0）。因为 \(b<1\)，\(\dfrac{1}{bT}>\dfrac{1}{T}\)，所以 \(\dfrac{1}{T}\) 在左边先出现。
• 怎么用：它的幅频折线是"先平（0 dB）→ 中间一段 \(-20\) → 之后又平"，最终把高频段整体压低 \(|20\lg b|\) 分贝（\(b<1\) 故 \(20\lg b<0\)，是衰减）。这正是我们要的"把曲线压下去，让它提前穿 0 dB"。

核心方程（本题的心脏）：要让新截止频率恰好落在 \(\omega_c=0.7\)，就必须让滞后网络在那里的衰减量，正好抵消原系统在那里高出 0 dB 的量：

• 这式子在说什么：网络压下去多少 = 原系统在这点高出多少，两者抵消后曲线正好落在 0 dB 线上。
• 符号是什么：\(L_0(\omega_c)\) 是原系统在新截止频率处的对数幅值（dB）；\(20\lg b\) 是滞后网络的高频衰减量（负值）。

先算 \(L_0(0.7)\)：\(0.7<1\)，还在低频那段斜率 \(-20\) 的直线上，用低频近似 \(|G_0|\approx K/\omega\)：

于是

再定 \(T\)：\(b\) 只决定"压多少"，\(T\) 决定"两个转折频率放在哪"。原则是让滞后网络的负相角尽量远离 \(\omega_c\)，所以把靠右那个转折频率 \(\dfrac{1}{bT}\) 放在 \(\omega_c\) 的 \(\dfrac15\sim\dfrac1{10}\) 处。本题按 PPT 常用的 \(\dfrac{1}{10}\) 取：

（转录里的"143""102"就是 14.3 和 102，ASR 丢了小数点。）

【难点六】"转折频率越靠左越好"，为什么不能无限靠左？ 越靠左 \(T\) 越大，网络时间常数越大：物理上电阻电容值大得离谱；而且低频出现一对靠得很近的零极点，会给过渡过程拖出一条很慢的"尾巴"。所以取 \(1/5\) 到 \(1/10\) 是权衡的结果，不是随便定的。

【补前置】这里两个词解释一下： - 过渡过程（也叫暂态过程、动态过程）：给系统一个新指令后，输出从旧状态变到新的稳定状态中间那段还在变化的过程。之后不再变化的阶段叫稳态。 - "衰减很慢的小分量"：输出随时间的变化可以拆成若干项指数衰减的成分，每个闭环极点对应一项，极点离虚轴越近（绝对值越小）衰减越慢。低频那对靠得很近的零极点会留下一项幅度不大、但要过很久才消失的成分——表现为响应已经差不多到位了，却还有一点点余量磨磨蹭蹭地爬很久（调节时间被拖长）。它是"小"（幅度小）但"慢"（拖尾长）。

3.6 第三步：校验（这一步不做要扣分）

校正后：

验 \(\omega_c\)：

代 \(\omega=0.7\)：\(14.3\times0.7=10.0\)，\(\sqrt{1+100}\approx10.0\)；\(102\times0.7=71.4\)，\(\sqrt{1+71.4^2}\approx71.4\)；\(0.2\times0.7=0.14\)，\(\sqrt{1+0.02}\approx1.01\)；\(\sqrt{1+0.49}\approx1.22\)。

接近 1（折线法本身就有几分贝误差），所以 \(\omega_c\approx0.7\)，达标。老师课上用的是更粗的近似（把 \(\sqrt{1+x^2}\) 里的 1 直接略去），一步就得 \(\approx1\)。

【补前置】模为什么这么算？ 复数相乘模相乘、相除模相除；\(|a+jb|=\sqrt{a^2+b^2}\)，所以 \(|1+jT\omega|=\sqrt{1+(T\omega)^2}\)，\(|j\omega|=\omega\)。

验 \(\gamma\)：

先算 \(\omega_c=0.7\) 处校正后系统的相角 \(\varphi(\omega_c)\)（骨架永远是 \(\gamma=180^\circ+\varphi(\omega_c)\)，中括号里就是 \(\varphi\)）：

\(42^\circ\ge40^\circ\)，达标，设计合理。

注意其中滞后网络贡献的两项：\(+84.3^\circ\)（零点）与 \(-89.2^\circ\)（极点），合起来是 \(-4.9^\circ\)——这正是 3.4 节说的"滞后网络在 \(\omega_c\) 处引入的负相角"，实际约 5 度，正好小于 7 度余量。 判据在这里被验证了，不是空口白话。

3.7 参数对性能的影响（老师在讲滞后校正设计时专门提醒："参数的取值对于系统的性能是有影响的"）

• \(b\) 越大（越接近 1）\(\Rightarrow\) 衰减量 \(|20\lg b|\) 越小 \(\Rightarrow\) 曲线压得越少 \(\Rightarrow\) 新 \(\omega_c\) 越靠右、越大 \(\Rightarrow\) 校正力度越弱（想要的"变慢、增裕度"的效果越不明显）。 【存疑·待核】转录里这句话被表述成"\(\omega_c\) 越大，系统快速性相对差一点"，与 \(\omega_c\) 的定义相反（\(\omega_c\) 越大响应越快）。按定义应是"快速性更好、但校正效果不足"；老师原意可能指校正力度不够。以定义为准。
• \(T\) 越大 \(\Rightarrow\) \(1/T\) 越小、转折频率越靠左 \(\Rightarrow\) 最大滞后相角离 \(\omega_c\) 越远 \(\Rightarrow\) 对裕度的损害越小 \(\Rightarrow\) 相角裕度越大（代价见【难点六】）。

4. 例题三：PI 控制器的参数设计

4.1 题目

已知单位反馈系统开环传递函数

用频率法设计串联 PI 控制器的参数，使校正后 \(\omega_c=100\) rad/s、\(\gamma=60^\circ\)，并画出校正前后的对数幅频与相频曲线；再问：串入 PI 后，要使系统稳定 \(T\) 该如何取值？系统能否做到对速度输入无差、对加速度输入无差？

4.2 PI 控制器是什么

• 这式子在说什么：一个"比例 + 积分"的控制器。它把误差按比例放大一份，再把误差累积一份，两份相加去驱动系统。
• 符号是什么：\(K_p\) 是比例系数（放大多少倍）；\(T_i\) 是积分时间常数（秒），\(T_i\) 越小积分作用越强。
• 怎么用：分母有一个 \(s\)，意味着给系统多加了一个位于原点的开环极点（PPT 原话即如此），系统型别 \(\nu\) 加 1；分子的 \((T_is+1)\) 给系统加了一个零点 \(s=-1/T_i\)。

为什么要它：型别升高一级 \(\Rightarrow\) 稳态精度提高（对某类输入从有差变无差）。代价：它的相角是

\(\arctan\) 最大趋近 \(90^\circ\)，所以 \(\varphi_c\) 永远是负的（最多趋近 0 度）。也就是说 PI 整体呈滞后性质，和滞后网络作用相似，会吃掉相角裕度。

【你可能会以为】以为"加积分只有好处，稳态误差变小了"。精度确实提高了，但代价是相位滞后 90 度打底、稳定性变差（PPT 写"积分使相位滞后 90 度，不利于稳定性"）。控制里几乎所有东西都是这种取舍，没有白拿的好处。

【补前置】"无差"是什么：系统跟随一个输入，等它稳下来以后输出与输入还差多少，这个差叫稳态误差 \(e_{ss}\)，为 0 就叫"无差"。常见输入：阶跃（位置）、斜坡（速度，输入随时间线性增长）、抛物线（加速度，输入随 \(t^2\) 增长）。

4.3 校正前的伯德图

I 型，\(K=1000\)，\(20\lg1000=60\) dB，转折频率 \(1/0.001=1000\)。所以：过 \((1,\ 60\ \text{dB})\) 作斜率 \(-20\) 的直线，到 \(\omega=1000\) 变为 \(-40\)。

4.4 定 \(T_i\)：用相角裕度条件

校正后开环：

（PI 的分母 \(T_is\) 与原来的 \(s\) 相乘得 \(T_is^2\)，所以现在是 II 型系统。）

相角裕度条件（在 \(\omega_c=100\) 处）：

其中 \(-180^\circ\) 来自 \(s^2\)（两个积分环节，每个 \(-90^\circ\)）。代 \(\omega_c=100\)，\(\arctan(0.001\times100)=\arctan0.1=5.7^\circ\)：

【难点七】为什么先定 \(T_i\)、再定 \(K_p\)，顺序不能反？ 因为相角完全不受 \(K_p\) 影响——\(K_p\) 是个正实数，乘上去只改变模、不改变辐角。所以相角裕度方程里只有一个未知量 \(T_i\)，能直接解出来；反过来幅值方程里 \(K_p\) 和 \(T_i\) 都在，先动它就是两个未知数一个方程。"相角只受时间常数影响、增益只管幅值"是频率法设计的通用套路。

4.5 定 \(K_p\)：用幅值条件

截止频率处幅值等于 1：

代数：\(T_i\omega_c=2.22\)，\(\sqrt{1+2.22^2}=2.43\)；\(T_i\omega_c^2=0.022\times10^4=222\)；\(\sqrt{1+0.1^2}\approx1.005\)。

校正后：

校正后伯德图：起始斜率 \(-40\)（II 型），在第一个转折频率 \(1/0.022\approx45.5\) 处斜率 \(+20\) 变为 \(-20\)，在第二个转折频率 \(1000\) 处斜率 \(-20\) 变为 \(-40\)。相频曲线从 \(-180^\circ\) 起，在 45.5 附近被零点抬起来（最高抬到接近 \(-90^\circ\)），过了 1000 又被拉回 \(-180^\circ\) 以下。

【你可能会以为】以为"零点 \(1/T_i=45.5\) 放哪都行"。不行。 只有零点在 \(\omega_c=100\) 的左边先出现，它提供的正相角才能在 \(\omega_c\) 处已经长起来（本题 \(\arctan(100\times0.022)=65.7^\circ\)），把 \(-180^\circ\) 抬到 \(-120^\circ\)，才有 60 度裕度。若零点放到 \(\omega_c\) 右边，\(\omega_c\) 处相角还在 \(-180^\circ\) 附近，裕度接近 0，系统临界不稳。这是 PI 参数设计的全部要害。

4.6 第二问：使系统稳定的 \(T\) 范围

把被控对象的时间常数 \(T\) 重新当作未知量（PI 参数已定 \(T_i=0.022\)）。先明说这里用的近似：下面仍在 \(\omega=100\) 这一点上算裕度，也就是近似认为 \(T\) 变化后截止频率还停在 100。严格说这不成立——\(T\) 是被控对象自己的参数，\(T\) 一变幅频曲线就变、\(\omega_c\) 也会跟着挪。之所以还能这么算，是因为本题 \(\omega_c\) 处的幅值主要由低频段和 \(K_p\) 决定，惯性环节 \((Ts+1)\) 在 \(T\) 很小时对 \(\omega=100\) 附近的幅值影响很轻。真正严密的做法是下面的劳斯判据，两条路结论相同（见本节末），所以答案可信。

沿用 4.4 的写法（骨架 \(\gamma=180^\circ+\varphi(\omega_c)\)，中括号里是相角 \(\varphi\)）：

两个 \(180^\circ\) 抵消（前一个是裕度定义里的，后一个是 \(s^2\) 两个积分环节各 \(-90^\circ\) 来的），才剩下

要稳定需 \(\gamma>0\)，即 \(\arctan(2.2)>\arctan(100T)\)。\(\arctan\) 单调递增，所以

也就是 \(T<T_i\)。物理解释：\(T\) 是被控对象惯性环节的时间常数，带来负相角；\(T_i\) 对应的零点带来正相角。只有零点"先来"（转折频率更靠左，即 \(1/T_i<1/T\)，等价于 \(T<T_i\)），正相角才能压过负相角，系统才有正裕度。

老师也提到：也可以对校正后的闭环特征方程用劳斯稳定判据求 \(T\) 的范围。这条路不含上面那个"\(\omega_c\) 仍在 100"的近似，是严密的，我们把它算出来当作互相印证：

单位反馈下闭环特征方程是 \(1+G(s)=0\)，把 \(G(s)=\dfrac{90(0.022s+1)}{0.022s^2(Ts+1)}\) 代入并去分母：

三阶系统劳斯判据的稳定条件是"各系数同号，且中间两系数之积 > 两端两系数之积"：

和频域那条路得到的 \(T<0.022\) 完全一致。 这里要诚实地说：频域那条路带着近似，结论对得上属于两条路互相印证（本题近似确实很好），不要因此以为频域推理天生就是严密的——遇到近似不成立的题（比如 \(T\) 取值把 \(\omega_c\) 拉得很远），仍应以劳斯判据这类代数方法为准。

【补前置】特征方程 / 劳斯判据（都是第三章内容，这里只补到够用）： - 特征方程：把闭环传递函数的分母令为零得到的多项式方程（单位反馈时即 \(1+G(s)=0\) 去分母后的式子）。它的根 = 闭环极点，决定系统稳不稳、动态快不快。"特征"二字的意思是：这个方程只由系统自身结构决定，与你给什么输入无关。 - 劳斯判据：不去解这个方程（三阶以上手解很痛苦），只把系数按规则排成一张表，看首列符号是否全部同号，就能判断根是否全在复平面左半边（左半边 = 稳定）。三阶的常用速记就是上面那句"中间两系数之积 > 两端两系数之积"。

【你可能会以为】以为"相角裕度大于 0 就等价于稳定"。这只对最小相位、且幅频曲线只穿越 0 dB 一次的系统成立。本题满足这个条件所以能用；遇到多次穿越或非最小相位系统，必须用奈奎斯特判据或劳斯判据。

【补前置】奈奎斯特判据（奈氏判据）、奈氏曲线：把 \(G(j\omega)\) 这个复数随 \(\omega\) 从 0 变到无穷时画出的那支箭头端点的轨迹（画在复平面上，一条曲线，不是伯德图那两条），叫奈奎斯特曲线（奈氏曲线）——它和伯德图是同一份信息的两种画法：伯德图把"模"和"相角"分成上下两张图对着 \(\omega\) 画，奈氏曲线把两者合成一条极坐标轨迹。奈氏判据就是数这条曲线绕点 \((-1,j0)\) 转了几圈，据此判断闭环系统稳不稳。它比"看裕度"通用得多（多次穿越、非最小相位都能判），代价是要会画那条曲线。第五章（第10、11讲）讲过，第15讲还会用它反推校正装置。

4.7 第二问后半：稳态误差

校正后是 II 型系统（分母 \(s^2\)）：

• 对速度输入（斜坡 \(r(t)=t\)）：\(e_{ss}=0\)，无差。
• 对加速度输入（抛物线 \(r(t)=\frac12t^2\)）：\(e_{ss}=\dfrac{1}{K_a}\)，其中 \(K_a\) 叫加速度误差系数（"系统对抛物线输入的跟踪本领"，越大误差越小）。它是一个有限的非零值，所以做不到无差。

【补前置】先记住纯文字的规律，公式只是它的出处。

规律一句话：分母上每多一个 \(s\)（型别 \(\nu\) 每加 1），系统就能多"吃掉"一档输入的增长速度。

本题校正后是 II 型，查表即得："速度输入无差、加速度输入有限差"，这就是答案，考试写到这一步就够。

如果你想知道这张表是从哪来的（下面三行是唯一用到拉氏记号的地方，逐字解释，不需要你会算拉氏变换）：

• \(R(s)\)：输入信号的拉氏变换（拉氏像）。拉氏变换是把一个随时间变化的信号 \(r(t)\) 换算成一个关于 \(s\) 的式子的固定手续，像查表一样查得到：阶跃 \(1\to R(s)=\frac1s\)，斜坡 \(t\to\frac{1}{s^2}\)，抛物线 \(\frac12t^2\to\frac{1}{s^3}\)。你只要会查这三条就够用。
• \(\lim\limits_{s\to0}\)：读作"当 \(s\) 趋近于 0 时（后面这个式子的极限值）"，意思就是把 \(s\) 取成越来越接近 0 的数，看整个式子稳定地逼近哪个数。
• 为什么"乘上 \(s\) 再让 \(s\to0\)"算出来的就是最后稳下来的误差？ 这条叫终值定理。直觉是：\(s\) 与时间 \(t\) 大致成"倒数"关系（\(s\) 大对应短时间的快变化，\(s\) 小对应长时间的慢变化），所以 \(s\to0\) 恰好对应 \(t\to\infty\)，看的正是信号最后稳下来的那个值；前面乘的那个 \(s\) 是拉氏变换本身带来的技术性因子（把 \(R(s)\) 里那个 \(1/s\) 抵掉），不必深究。前提是系统本身稳定，否则根本没有"稳下来的值"可言。

代入本题：分母 \(1+G(s)\) 里 \(G(s)\) 含 \(s^{\nu}\) 在分母，\(s\to0\) 时 \(G(s)\to\infty\)，\(\nu\) 越大它跑得越快，误差就被压得越小——这就是上表规律的来源。抛物线情形下 \(K_a=\lim\limits_{s\to0}s^2G(s)=\dfrac{90}{0.022}\approx4091\)（把 \(G(s)=\frac{90(0.022s+1)}{0.022s^2(0.001s+1)}\) 乘上 \(s^2\)、再令 \(s\to0\)，两个括号都变成 1，只剩 \(90/0.022\)），所以 \(e_{ss}=1/K_a\approx2.4\times10^{-4}\)——很小，但不是 0。

（转录里老师说"抛物线时误差等于 \(1/K\)"，这个 \(K\) 指的就是这里的加速度误差系数 \(K_a\)。）

5. 这一讲的骨架（真正要带走的）

1. 看图反推三件套：低频斜率定型别 \(\nu\)；相邻段斜率差定环节（\(-20\) 惯性在分母，\(+20\) 微分在分子）；低频渐近线的延长线在 \(\omega=1\) 处的高度 \(=20\lg K\)——只能用第一段直线，这是最大的坑。
2. 串联校正 \(\Rightarrow\) 相乘 \(\Rightarrow\) 求装置就是相除：\(G_c=G/G_0\)。
3. 滞后校正三步走：判类型（要求 \(\omega_c\) 变小 + 新 \(\omega_c\) 处原裕度比要求大 5 度以上）\(\to\) 定参数（\(20\lg b=-L_0(\omega_c)\) 定 \(b\)；\(\frac{1}{bT}=\frac{\omega_c}{10}\) 定 \(T\)）\(\to\) 校验（重算 \(\omega_c\) 和 \(\gamma\)）。
4. 滞后校正的机理：不是靠提供相角，是靠高频衰减把截止频率往左搬，搬到原系统相角还没坏的地方。
5. PI 设计的顺序：先用相角裕度条件定 \(T_i\)（相角与 \(K_p\) 无关），再用幅值条件定 \(K_p\)。顺序反了解不出来。
6. PI 的两面：型别 +1 提高稳态精度，代价是相位滞后、稳定性变差；零点 \(1/T_i\) 必须放在 \(\omega_c\) 左边。
7. 考试不会只考一步：求出 \(G_c\) 之后一定接着问裕度、截止频率或稳态误差。

第一遍看不懂很正常。卡点通常在两处：一是 2.6 节"\(K\) 只由第一段渐近线决定"，二是 3.5 节"\(20\lg b\) 抵消 \(L_0(\omega_c)\)"这个方程的来由。这两处啃透，这一讲就过了。

6. 自测（戳穿假懂版）

1. 某最小相位系统的对数幅频折线：低频段斜率 \(-40\)，在 \(\omega=0.1\) 处 \(L=20\) dB；\(\omega=1\) 处斜率变为 \(-20\)；\(\omega=10\) 处变为 \(-40\)。写出开环传递函数。

要点：\(\nu=2\)；低频渐近线延长到 \(\omega=1\)：\(20\lg K=20+(-40)(\lg1-\lg0.1)=20-40=-20\)，\(K=0.1\)。\(\omega=1\) 斜率 \(+20\) \(\Rightarrow\) 分子 \((s+1)\)；\(\omega=10\) 斜率 \(-20\) \(\Rightarrow\) 分母 \((0.1s+1)\)。答案 \(G=\dfrac{0.1(s+1)}{s^2(0.1s+1)}\)。 答错说明：若你顺着折线爬到 \(\omega=1\) 取实际高度当 \(20\lg K\)，说明 2.6 节没懂；若 \(+20\)、\(-20\) 搞反，说明 1.3 节规则二没记牢。

2. 例题二中，若把 \(\dfrac{1}{bT}\) 取在 \(\dfrac{\omega_c}{5}=0.14\) 而不是 \(0.07\)，\(b\) 会变吗？\(T\) 变成多少？校正后的相角裕度变大还是变小？

要点：\(b\) 不变（\(b\) 只由衰减量决定，与转折频率位置无关），仍是 0.14。\(bT=1/0.14=7.14\)，\(T=7.14/0.14\approx51\)。裕度变小：转折频率右移，滞后网络在 \(\omega_c\) 处残留的负相角变大。定量：\(\arctan(7.14\times0.7)-\arctan(51\times0.7)=78.7^\circ-88.4^\circ=-9.7^\circ\)，比原来的 \(-4.9^\circ\) 多吃约 5 度，\(\gamma\) 掉到约 \(37^\circ\)，反而不达标。 答错说明：以为 \(b\) 会跟着变，说明没分清"\(b\) 管压多少、\(T\) 管放哪里"。

3. 有人说："例题二里既然要求 \(\gamma\ge40^\circ\)，而原系统在 \(\omega_{c0}=2.2\) 处裕度不够，那就用超前校正把裕度顶上去。"这个思路错在哪？

要点：题目指定了 \(\omega_c=0.7\)，比原来的 2.2 小。超前校正会把 \(\omega_c\) 往右推（抬高高频幅值），与要求相反。选超前还是滞后，第一看的是 \(\omega_c\) 要变大还是变小，不是只看裕度。 答错说明：说明 3.2 节的判据只背了后半句。

4. 例题三中，若把 \(T_i\) 取成 0.005（零点在 \(1/0.005=200\)，落在 \(\omega_c=100\) 右边），\(\omega_c\) 处的相角裕度约是多少？系统还稳吗？

要点：\(\gamma=\arctan(0.005\times100)-\arctan(0.001\times100)=\arctan0.5-\arctan0.1=26.6^\circ-5.7^\circ\approx21^\circ\)。仍大于 0（勉强稳定），但远达不到 60 度要求，超调会很大、振荡明显。 答错说明：答"不稳定"说明把"裕度不足"和"不稳定"混为一谈；算不出来说明 4.4 的相角式子没掌握。

5. 例题一求出的 \(G_c(s)=\dfrac{0.316(1.11s+1)(0.5s+1)}{(5s+1)(s/60+1)}\) 属于超前、滞后还是滞后-超前？依据是什么？

要点：把四个转折频率从小到大排：\(0.2\)（极点，往下掰）、\(0.9\)（零点，往上掰）、\(2\)（零点，往上掰）、\(60\)（极点，往下掰）。低频段先极点后零点 = 滞后段；高频段先零点后极点 = 超前段。所以是滞后-超前性质。 答错说明：只看名字或只看增益 0.316 小于 1 就判"滞后"，说明没建立"零极点的先后顺序决定超前/滞后"的直觉。

知识地图

向前串（这一讲用到了什么）

• 第二章：传递函数、串联相乘、零点极点。没有它，\(G_c=G/G_0\) 这一步不成立。
• 第三章：稳态误差、型别 \(\nu\) 与误差系数（例题三第二问直接考）；劳斯判据（例题三判稳的替代方法）。
• 第五章：伯德图折线画法、截止频率 \(\omega_c\)、相角裕度 \(\gamma\)，以及三频段思想——例题二里"把 \(-40\) 穿越改造成 \(-20\) 穿越"正是这个思想的应用。

【补前置】什么叫三频段？ 把开环幅频折线按频率分成三段来看：低频段（远小于 \(\omega_c\)）管稳态精度，斜率越陡（型别越高）、位置越高（\(K\) 越大）稳态误差越小；中频段（\(\omega_c\) 附近）管稳定性和平稳性；高频段（远大于 \(\omega_c\)）管抗高频噪声能力，越陡（掉得越快）抗噪越好。其中"中频段应以 \(-20\) dB/dec 的斜率穿越 0 dB 线，且这一段要有一定宽度"是第五章给出的经验准则：若以 \(-40\) 甚至 \(-60\) 穿越，穿越点附近相角已接近或超过 \(-180^\circ\)，相角裕度所剩无几甚至为负；而 \(-20\) 穿越对应的相角大致在 \(-90^\circ\) 量级，裕度充裕。记法：低频看精度、中频看稳定、高频看抗噪。 - 数学：常用对数、直线斜率公式、\(\arctan\)、复数的模与辐角。这一讲用到的数学只有这四样，不需要更多。

横向串（第六章内部）

• 第13讲给"是什么、什么时候用"（超前网络 \(\frac{1+aTs}{1+Ts}\) 且 \(a>1\)；滞后网络 \(\frac{1+bTs}{1+Ts}\) 且 \(b<1\)；P/PI/PD/PID 控制规律），第14讲给"具体数字怎么算"。两讲必须配着看。
• 三道题的关系：题一是逆问题（由图求式），题二是正问题（由指标设计装置），题三是半给定问题（结构给定，只求参数）。考试三种都可能出。

向后串（后面怎么用）

• 第15讲：由奈奎斯特曲线反推超前校正、有源 PI 的实现（不依赖伯德图的校正思路）。
• 第七章离散系统：数字 PID 就是本讲 PI 的离散版本，\(T_i\) 的物理意义完全一样。
• 工程上：本讲的三步走（判类型 → 定参数 → 校验）是所有控制器整定的通用骨架。