图4-20 系统(3)的\(1+\dfrac{K^*(s+3)}{(s+1)(s+5)(s+10)}=0\)
根轨迹图(MATLAB)
图4-21 系统(4)的\(1+\dfrac{K^*(s+1)^3}{(s+2)^3}=0\)
根轨迹图(MATLAB)
4-9 已知单位反馈控制系统的开环传递函数，试概略绘制闭环根轨迹图（注意起始角和终止角的计算）。
(1) \(G(s)=\dfrac{K^*(s+2)}{s^2+2s+4}\)； (2) \(G(s)=\dfrac{K^*(s+20)}{s(s^2+20s+20)}\)； (3) \(G(s)=\dfrac{K^*(s^2+6s+25)}{s(s^2+8s+25)}\)。
解 (1) 系统的开环传递函数
\[G(s)=\frac{K^*(s+2)}{s^2+2s+4}=\frac{K^*(s+2)}{(s+1+\mathrm{j}\sqrt{3})(s+1-\mathrm{j}\sqrt{3})}\]
① 实轴上的根轨迹：\([-2,-\infty)\)。
② 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满足
\[\frac{1}{d+1+\mathrm{j}\sqrt{3}}+\frac{1}{d+1-\mathrm{j}\sqrt{3}}=\frac{1}{d+2}\]
即
\[d^2+4d=0\]
解得
\[d_1=-4,\quad d_2=0（舍去）\]
故分离点的坐标为\(d=-4\)。
③ 根轨迹的起始角
\[\theta_{p_1}=180°+\varphi_{z_1p_1}-\theta_{p_2p_1}=180°+60°-90°=150°\]
\[\theta_{p_2}=-150°\]
根据以上几点，可以画出概略根轨迹如图4-22所示。
(2) 系统的开环传递函数
\[G(s)=\frac{K^*(s+20)}{s(s^2+20s+20)}=\frac{K^*(s+20)}{s(s+1.06)(s+18.94)}\]
① 实轴上的根轨迹：\([-18.94,-20]\)，\([-1.06,0]\)。
② 根轨迹的渐近线：\(\sigma_a=\dfrac{-1.06-18.94+20}{3-1}=0\)，\(\varphi_a=\pm\dfrac{\pi}{2}\)。
③ 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满足
\[\frac{1}{d}+\frac{1}{d+1.06}+\frac{1}{d+18.94}=\frac{1}{d+20}\]
· 159 ·