则该系统的微分方程为

考虑给定初始条件,对上式进行拉普拉斯变换后可得

初始条件为:\(u(0)\),\(y(0)\)和\(y'(0)\),其中\(y(0)=x_1(0)\),\(y'(0)=u(0)+x_2(0)-4x_1(0)\)。

2-46 在图2-83(a)所示的直流位置随动系统中,已知放大器增益\(K_a=10\),减速齿轮的齿数\(z_1=20\),\(z_2=50\)。当输入轴\(\theta_i(t)=10\times1(t)\)时,实验测得误差电压\(u_s(t)\)的曲线如图2-83(b)所示;当输入轴\(\theta_i(t)=60\times t\)时,实验测得稳态误差电压\(u_s(\infty)=0.145\)。要求:(1)画出系统的结构图;(2)求出电位器误差检测器传递系数\(K_1\),直流电动机的传递系数\(K_m\)和时间常数\(T_m\)。

(a) 系统原理图

(b) 误差电压曲线

图2-83 直流位置随动系统及误差电压曲线

解 (1) 系统的结构图。

电位器误差检测器:由于误差电压与失调角\(\Delta\theta=\theta_i-\theta_o\)成比例,则\(u_s=K_1\Delta\theta\);

放大器:输入为\(u_s\),输出为\(u_a\),则\(u_a=K_au_s\);

直流电动机:输入为电枢电压\(u_a\),输出为电机的转角\(\theta_m\),则\(\dfrac{\theta_m(s)}{u_a(s)}=\dfrac{K_m}{s(T_ms+1)}\);

齿轮传动装置:输入为电机转角\(\theta_m\),输出为负载角位移\(\theta_o\),则\(\theta_o=\dfrac{\theta_m}{i}\),其中\(i=\dfrac{z_2}{z_1}=2.5\)为齿轮减速比。

根据以上分析可画出系统的结构图如图2-84所示。

图2-84 直流位置随动系统结构图

(2) 求\(K_1\),\(K_m\)和\(T_m\)。

根据图2-84直流位置随动系统结构图,可得系统的开环传递函数为

当输入轴\(\theta_i(t)=60t\)时,\(K_v=\lim\limits_{s\to0}sG(s)=\lim\limits_{s\to0}\dfrac{4K_1K_m}{T_ms+1}=4K_1K_m\),则

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