\[D(s) = s(s+1)(s^2+4s+16) + K(s+1.05)\]
\[= s^4 + 5s^3 + 20s^2 + (16+K)s + 1.05K = 0\]
令 \(s=\mathrm{j}\omega\)，将其代入上式可得
\[(\mathrm{j}\omega)^4 + 5(\mathrm{j}\omega)^3 + 20(\mathrm{j}\omega)^2 + (16+K)(\mathrm{j}\omega) + 1.05K = 0\]
即
\[\begin{cases} \omega^4 - 20\omega^2 + 1.05K = 0 \\ -5\omega^3 + (16+K)\omega = 0 \end{cases}\]
可解得
\[\omega = \pm 3.98, \quad K = 63.2\]
根据以上几点,可以画出系统根轨迹图,如图4-163所示。显然,\(0<K<63.2\),闭环系统稳定。
(3) 比较。
附加开环负实数零点,将使系统的根轨迹图发生趋向附加零点方向的变形,而且这种影响将随开环零点接近坐标原点的程度而加强。在本题中,附加开环零点,有效地改善了系统的稳定性。
MATLAB文本及仿真曲线如图4-162和图4-163所示。
图4-162 \(1+\dfrac{K(s+4)}{s(s+1)(s^2+4s+16)}=0\) 根轨迹图(MATLAB)
图4-163 \(1+\dfrac{K(s+1.05)}{s(s+1)(s^2+4s+16)}=0\) 根轨迹图(MATLAB)
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