根据系统型别的定义可知,对输入 \(r(t)\) 图 3-22 系统为 I 型系统。
由图 3-22 可知,当 \(r(t)=0\) 时,控制系统前向通道的传递函数为
\[G_n(s) = \frac{\tau s+1}{s(T_2 s+1)}\]
控制系统反馈通道的传递函数为
\[H_n(s) = \frac{1}{T_1 s+1} + K_1 s = \frac{K_1 T_1 s^2 + K_1 s + 1}{T_1 s+1}\]
此时
\[E_n(s) = R(s) - C_n(s) = -C_n(s) = -\frac{G_n(s)}{1+G_n(s)H_n(s)}N(s)\]
\[= -\frac{(\tau s+1)(T_1 s+1)}{s(T_1 s+1)(T_2 s+1)+(\tau s+1)(K_1 T_1 s^2 + K_1 s+1)}N(s)\]
根据终值定理可知,对扰动 \(n(t)\) 图 3-22 系统为 0 型系统。
3-30 若误差定义为 \(e(t)=r(t)-c(t)\),试求图 3-23 所示系统总的稳态误差 \(e_s(\infty)\)。
图 3-23 控制系统结构图
解 (1) 图 3-23(a)前馈控制系统。
当 \(n(t)=0\) 时,系统的误差
\[E_r(s) = R(s) - C(s) = R(s) - \frac{s+1}{s^2+s+1}R(s) = \frac{s^2}{s^2+s+1}R(s)\]
根据误差定义,用终值定理来求解系统的稳态误差,有
\[e_{ssr}(\infty) = \lim_{s\to0}sE_r(s) = \lim_{s\to0}s\cdot\frac{s^2}{s^2+s+1}R(s)\]
\[= \lim_{s\to0}s\cdot\frac{s^2}{s^2+s+1}\cdot\frac{1}{s^2} = 0\]
当 \(r(t)=0\) 时,系统的误差
\[E_n(s) = R(s) - C(s) = -\frac{s^2+s}{s^2+s+1}N(s)\]
根据误差定义,用终值定理来求解系统的稳态误差,有
\[e_{ssn}(\infty) = \lim_{s\to0}sE_n(s) = \lim_{s\to0}\left[-s\cdot\frac{s^2+s}{s^2+s+1}\cdot N(s)\right]\]
\[= -\lim_{s\to0}s\cdot\frac{s^2+s}{s^2+s+1}\cdot\frac{1}{s} = 0\]
故如图 3-23(a)所示系统总的稳态误差为
\[e_s(\infty) = e_{ssr}(\infty) + e_{ssn}(\infty) = 0\]
(2) 图 3-23(b)反馈控制系统。
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