图 7-14 闭环采样系统结构图
解 (1) 系统开环脉冲传递函数为
\[
G(z)=\mathscr{Z}\left[\frac{1-\mathrm{e}^{-Ts}}{s}\cdot\frac{10(1+0.5s)}{s^{2}}\right]
\]
\[
=(1-z^{-1})\mathscr{Z}\left[\frac{10(1+0.5s)}{s^{3}}\right]
\]
\[
=10(1-z^{-1})\mathscr{Z}\left[\frac{1}{s^{3}}+\frac{0.5}{s^{2}}+\frac{0}{s}\right]
\]
\[
=(1-z^{-1})\left[\frac{5T^{2}z(z+1)}{(z-1)^{3}}+\frac{5Tz}{(z-1)^{2}}\right]
\]
令 \(T=0.2\),代入上式简化后得
\[
G(z)=\frac{1.2z-0.8}{(z-1)^{2}}
\]
解1 静态误差系数法
可以看出开环系统为Ⅱ型。因此
位置误差系数 \(\quad K_{p}=\lim_{z\to1}[1+G(z)]=\lim_{z\to1}\left[1+\frac{1.2z-0.8}{(z-1)^{2}}\right]=\infty\)
速度误差系数 \(\quad K_{v}=\lim_{z\to1}(z-1)G(z)=\lim_{z\to1}(z-1)\frac{1.2z-0.8}{(z-1)^{2}}=\infty\)
加速度误差系数 \(\quad K_{a}=\lim_{z\to1}(z-1)^{2}G(z)=\lim_{z\to1}(z-1)^{2}\frac{1.2z-0.8}{(z-1)^{2}}=0.4\)
故系统的稳态误差为
\[
e(\infty)=e_{s}(\infty)=\frac{1}{K_{p}}+\frac{T}{K_{v}}+\frac{T^{2}}{K_{a}}=0.1
\]
解2 动态误差系数法
因系统的误差脉冲传递函数为
\[
\Phi_{e}(z)=\frac{1}{1+G(z)}=\frac{1}{1+\dfrac{1.2z-0.8}{(z-1)^{2}}}=\frac{(z-1)^{2}}{z^{2}-0.8z+0.2}
\]
故
\[
\Phi_{e}^{*}(s)=\Phi_{e}(z)\big|_{z=\mathrm{e}^{Ts}}=\frac{(\mathrm{e}^{Ts}-1)^{2}}{\mathrm{e}^{2Ts}-0.8\mathrm{e}^{Ts}+0.2}
\]
误差系数为
\[
c_{0}=\Phi_{e}^{*}(s)\big|_{s=0}=0
\]
\[
c_{1}=\frac{\mathrm{d}\Phi_{e}^{*}(s)}{\mathrm{d}s}\bigg|_{s=0}=\left[-(\mathrm{e}^{Ts}-1)^{2}\frac{2T\mathrm{e}^{2Ts}-0.8T\mathrm{e}^{Ts}}{(\mathrm{e}^{2Ts}-0.8\mathrm{e}^{Ts}+0.2)^{2}}+\frac{2T(\mathrm{e}^{Ts}-1)}{\mathrm{e}^{2Ts}-0.8\mathrm{e}^{Ts}+0.2}\right]_{s=0}=0
\]
\[
c_{2}=\frac{\mathrm{d}^{2}\Phi_{e}^{*}(s)}{\mathrm{d}s^{2}}\bigg|_{s=0}
\]
\[
=\left\{\begin{aligned}
&\frac{4T^{2}\mathrm{e}^{2Ts}(-2\mathrm{e}^{6Ts}+6.2\mathrm{e}^{5Ts}-7.88\mathrm{e}^{4Ts}+5.36\mathrm{e}^{3Ts}-2.08\mathrm{e}^{2Ts}+0.44\mathrm{e}^{Ts}-0.04)}{(\mathrm{e}^{2Ts}-0.8\mathrm{e}^{Ts}+0.2)^{4}}\\[6pt]
&-\frac{4T^{2}\mathrm{e}^{3Ts}(-2\mathrm{e}^{5Ts}+6.4\mathrm{e}^{4Ts}-7.84\mathrm{e}^{3Ts}+4.64\mathrm{e}^{2Ts}-1.36\mathrm{e}^{Ts}+0.16)}{(\mathrm{e}^{2Ts}-0.8\mathrm{e}^{Ts}+0.2)^{4}}\\[6pt]
&+\frac{0.8T^{2}\mathrm{e}^{Ts}(3\mathrm{e}^{6Ts}-8.8\mathrm{e}^{5Ts}+10.52\mathrm{e}^{4Ts}-6.72\mathrm{e}^{3Ts}+2.44\mathrm{e}^{2Ts}-0.48\mathrm{e}^{Ts}+0.04)}{(\mathrm{e}^{2Ts}-0.8\mathrm{e}^{Ts}+0.2)^{4}}
\end{aligned}\right.
\]
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