图 4-149 \(s^3+6s^2+8s+K=0\)
根轨迹图(MATLAB)
图 4-150 \(s^3+6s^2+8s+K=0\)
分离点信息
MATLAB 程序:exe445.m
num=[1]; den=[1 6 8 0]; figure, rlocus(num,den);
由图 4-149 可以看出,多项式 \(s^3+6s^2+8s+K=0\) 根轨迹的复数部分为双曲线,且双曲线的顶点即为根轨迹的分离点,故其顶点坐标可以由图 4-150 看出。
4-46 已知反馈控制系统的传递函数为
\[\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{K(s+4)}{s^4+24s^3+(4K+169)s^2+48Ks+128K}\]
当 \(K\) 从 \(0\to+\infty\) 时,试概略绘制根轨迹图,并求取重极点对应的 \(K\) 值。
解 由系统的闭环传递函数可得系统的特征方程为
\[s^4+24s^3+(4K+169)s^2+48Ks+128K=0\]
可得等效开环传递函数
\[G_1(s)=\frac{K^*(s^2+12s+32)}{s^4+24s^3+169s^2}=\frac{K^*(s+4)(s+8)}{s^2(s+12-\mathrm{j}5)(s+12+\mathrm{j}5)}\]
其中,\(K^*=4K\)。
① 实轴上的根轨迹:\([-8,-4]\)。
② 根轨迹的渐近线
\[\sigma_a=\frac{-12-12+4+8}{2}=-6,\qquad \varphi_a=\pm\frac{\pi}{2}\]
③ 根轨迹的分离点:根轨迹的分离点坐标满足
\[\frac{1}{d}+\frac{1}{d}+\frac{1}{d+12-\mathrm{j}5}+\frac{1}{d+12+\mathrm{j}5}=\frac{1}{d+4}+\frac{1}{d+8}\]
解得 \(d=-5.69\)
由以上分析绘制系统的根轨迹如图4-151所示。
图 4-151 \(1+\dfrac{K^*(s^2+12s+32)}{s^4+24s^3+169s^2}=0\)
概略根轨迹图
根据根轨迹的幅值条件,可得分离点处的