图 5-64 \(G(s)=\dfrac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta\omega_n)}(\omega_n=1,\zeta=0.2)\)时
开环对数频率特性(MATLAB)
图 5-65 \(G(s)=\dfrac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta\omega_n)}(\omega_n=1,\zeta=0.2)\)时
系统单位阶跃响应(MATLAB)
(2) 对于图 5-63(b),系统的开环传递函数为
\[G_2(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta\omega_n+K_t\omega_n^2)}=\frac{1}{s(s+0.4+K_t)}\]
则开环频率特性为
\[G_2(j\omega)=\frac{1}{j\omega(j\omega+0.4+K_t)}=\frac{1}{\omega\sqrt{(0.4+K_t)^2+\omega^2}}\angle -90^\circ-\arctan\frac{\omega}{0.4+K_t}\]
由\(|G(j\omega_c)|=\left|\dfrac{1}{\omega_c\sqrt{(0.4+K_t)^2+\omega_c^2}}\right|=1\),解得
\[\omega_c=\sqrt{\frac{-(0.4+K_t)^2+\sqrt{(0.4+K_t)^4+4}}{2}}\]
由于 \(0.1\leqslant K_t\leqslant 1.5\),则
\[0.51\leqslant \omega_c\leqslant 0.94\]
再由
\[\gamma=180^\circ+\varphi(\omega_c)=90^\circ-\arctan\frac{\omega_c}{0.4+K_t}=\arctan\sqrt{\dfrac{2}{-1+\sqrt{1+\dfrac{4}{(0.4+K_t)^4}}}}\]
由于 \(0.1\leqslant K_t\leqslant 1.5\),则
\[28^\circ\leqslant \gamma\leqslant 75^\circ\]
MATLAB 验证:令 \(\omega_n=1,\zeta=0.2,K_t=0.1\) 及 \(K_t=1.5\),作系统开环对数频率特性及单位阶跃响应,分别如图 5-66 和图 5-67 所示。测得
\[\omega_c=0.50843\sim 0.93956\text{rad/s},\qquad \gamma=28.02^\circ\sim 75.019^\circ\]
\[\sigma\%=0\%\sim 44\%,\qquad t_p=3.07\sim 8.02\text{s}\]
\[t_s=5.28\sim 14.1\text{s}(\Delta=2\%),\qquad e_{ss}(\infty)=0\]
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