(1)
\[\Phi(s)=\mathscr{L}[c(t)]=\mathscr{L}\left[\frac{K}{\omega}\sin\omega t\right]=\frac{K}{s^2+\omega^2}\]
(2)
\[\Phi(s)=\mathscr{L}[c(t)]=\mathscr{L}[0.02(e^{-0.5t}-e^{0.2t})]\]
\[=0.02\left(\frac{1}{s+0.5}-\frac{1}{s-0.2}\right)=\frac{-0.014}{(2s+1)(5s-1)}\]
(3)
\[\Phi(s)=\mathscr{L}[c(t)]=\mathscr{L}[0.01t]=\frac{0.01}{s^2}\]
3-50 设单位反馈系统的开环传递函数为\(G(s)=\dfrac{K}{(0.2s+1)(0.4s+1)}\),当\(K\)分别取1,3,7时,试列表比较系统的自然频率、阻尼比、上升时间、峰值时间、调节时间、超调量和在单位阶跃输入下的稳态误差,并指出\(K\)值变化对系统产生的影响。
解 根据题意可得系统的闭环传递函数为
\[\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{K}{0.08s^2+0.6s+1+K}=\frac{12.5K}{s^2+7.5s+12.5(1+K)}\]
得系统的自然频率和阻尼比分别为
\[\omega_n=\sqrt{12.5(1+K)},\qquad \zeta=3.75/\omega_n\]
系统动态性能指标可按以下式进行计算:
上升时间 \(t_r=\dfrac{\pi-\arccos\zeta}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}\) 峰值时间 \(t_p=\dfrac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}\)
调节时间 \(t_s=\dfrac{4.4}{\zeta\omega_n}\) (\(\Delta=2\%\)) 超调量 \(\sigma\%=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%\)
单位阶跃输入下的稳态误差可由终值定理得
\[e_{ss}(\infty)=\frac{1}{1+K}\]
当\(K\)分别取1,3,7时,按上述式计算可得系统的性能如表3-1所示。
由表3-1可以看出,当\(K\)增加时,系统的自然频率变大,而阻尼比变小,系统的快速性增强,但是超调量增大,稳态误差越来越小。
表3-1 系统性能对比表
| \(K\) | 1 | 3 | 7 |
|---|---|---|---|
| 自然频率 \(\omega_n\) | 5 | 7.07 | 10 |
| 阻尼比 \(\zeta\) | 0.75 | 0.53 | 0.375 |
| 上升时间 \(t_r\)/s | 0.73 | 0.36 | 0.21 |
| 峰值时间 \(t_p\)/s | 0.95 | 0.52 | 0.34 |
| 调节时间 \(t_s(\Delta=2\%)\)/s | 1.17 | 1.17 | 1.17 |
| 超调量 \(\sigma\%\) | 2.8 | 14.0 | 28.1 |
| 稳态误差 \(e_{ss}(\infty)\) | 0.5 | 0.25 | 0.125 |
仿真结果如图3-50~图3-52所示。
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