图 4-135 ζ=0.5 时的闭环主导极点信息（MATLAB）
4-40 设系统如图 4-136 所示。试作闭环系统根轨迹图，并分析 \(K\) 值变化对系统在阶跃扰动作用下响应 \(c(t)\) 的影响。
图 4-136 控制系统结构图
解 由题意可知
\[n(t)=1(t),\quad N(s)=\frac{1}{s}\]
在扰动作用下，系统的闭环传递函数为
\[\Phi_n(s)=\frac{K}{s^3+K(s^2+2s+2)}\]
\[C_n(s)=\Phi_n(s)N(s),\quad c_n(\infty)=\lim_{s\to0}s\Phi_n(s)\frac{1}{s}=\frac{1}{2}\]
系统的闭环特征方程为
\[D(s)=s^3+K(s^2+2s+2)=0\]
系统的等效开环传递函数为
\[G_1(s)=\frac{K(s^2+2s+2)}{s^3}=\frac{K(s+1+\mathrm{j})(s+1-\mathrm{j})}{s^3}\]
① 实轴上的根轨迹：\([0,-\infty)\)。
② 根轨迹与虚轴的交点：令 \(s=\mathrm{j}\omega\)，并将其代入闭环特征方程可得
\[(\mathrm{j}\omega)^3+K[(\mathrm{j}\omega)^2+2(\mathrm{j}\omega)+2]=0\]
即
\[\begin{cases}-\omega^3+2K\omega=0\\-K\omega^2+2K=0\end{cases}\]
因 \(\omega\neq0\)，故可解得交点坐标为