而
\[E(z)=\frac{Tz^{-1}}{(1-z^{-1})^2}=\frac{Tz^{-1}}{1-2z^{-1}+z^{-2}}=Tz^{-1}+2Tz^{-2}+\cdots\]
可知
\[e(0)=0\]
7-7 求解下列差分方程，结果以 \(c(nT)\) 表示：
(1) \(c^*(t+2T)-3c^*(t+T)-10c^*(t)=r^*(t)\)，\(r(t)=\mathrm{e}^{3t}\)，\(r(t)=0,t<0\)；
(2) \(c(k+2)+4c(k+1)+3c(k)=2k\)，\(c(0)=c(1)=0\)。
解 (1) 因为 \(z^2C(z)-3zC(z)-10C(z)=R(z)=\dfrac{z}{z-\mathrm{e}^{3T}}\)
\[C(z)=\frac{z}{(z-\mathrm{e}^{3T})(z^2-3z-10)}=\frac{z}{(z-\mathrm{e}^{3T})(z-5)(z+2)}\]
用反演积分法，可得
\[c(nT)=\mathrm{Res}[C(z)\cdot z^{n-1}]_{z\to \mathrm{e}^{3T}}+\mathrm{Res}[C(z)\cdot z^{n-1}]_{z\to 5}+\mathrm{Res}[C(z)\cdot z^{n-1}]_{z\to -2}\]
\[=\lim_{z\to \mathrm{e}^{3T}}\left[\frac{(z-\mathrm{e}^{3T})z^n}{(z-\mathrm{e}^{3T})(z-5)(z+2)}\right]+\lim_{z\to 5}\left[\frac{(z-5)z^n}{(z-\mathrm{e}^{3T})(z-5)(z+2)}\right]\]
\[+\lim_{z\to -2}\left[\frac{(z+2)z^n}{(z-\mathrm{e}^{3T})(z-5)(z+2)}\right]\]
\[=\frac{\mathrm{e}^{3nT}}{(\mathrm{e}^{3T}-5)(\mathrm{e}^{3T}+2)}+\frac{5^n}{7(5-\mathrm{e}^{3T})}+\frac{(-2)^n}{7(\mathrm{e}^{3T}+2)}\]
(2) 因为 \(z^2C(z)+4zC(z)+3C(z)=R(z)=\dfrac{2Tz}{(z-1)^2}\)
\[C(z)=\frac{2Tz}{(z-1)^2(z^2+4z+3)}=\frac{2Tz}{(z+1)(z+3)(z-1)^2}\]
用反演积分法，可得
\[c(nT)=\mathrm{Res}[C(z)\cdot z^{n-1}]_{z\to -1}+\mathrm{Res}[C(z)\cdot z^{n-1}]_{z\to -3}+\mathrm{Res}[C(z)\cdot z^{n-1}]_{z\to 1}\]
\[=\lim_{z\to -1}\left[\frac{2T(z+1)z^n}{(z+1)(z+3)(z-1)^2}\right]+\lim_{z\to -3}\left[\frac{2T(z+3)z^n}{(z+1)(z+3)(z-1)^2}\right]\]
\[=\frac{1}{1!}\lim_{z\to 1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left[\frac{2T(z-1)^2z^n}{(z+1)(z+3)(z-1)^2}\right]\]
\[=\frac{nT}{4}-(-3)^n\frac{T}{16}-\frac{3T}{16}+(-1)^n\frac{T}{4}\]
\[c^*(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{nT}{4}-(-3)^n\frac{T}{16}-\frac{3T}{16}+(-1)^n\frac{T}{4}\right]\delta(t-nT)\]
\[=2T\delta(t-3T)-4T\delta(t-4T)+16T\delta(t-5T)+\cdots\]
幂级数法验证
\[C(z)=\frac{2Tz}{(z-1)^2(z^2+4z+3)}=\frac{2Tz^{-3}}{1+2z^{-1}-4z^{-2}-2z^{-3}+3z^{-4}}\]
\[=2Tz^{-3}-4Tz^{-4}+16Tz^{-5}+\cdots\]
故有
\[c^*(t)=2T\delta(t-3T)-4T\delta(t-4T)+16T\delta(t-5T)+\cdots\]
7-8 试求结构图 7-1 和图 7-2 所示系统的输出 \(z\) 变换 \(C(z)\)。
解 (1) 图 7-1 开环采样系统：
\(\cdot\) 379 \(\cdot\)