\[c_1 = \frac{1}{(r-1)!} \lim_{s \to s_1} \frac{\mathrm{d}^{(r-1)}}{\mathrm{d}s^{r-1}}\left[(s-s_1)^r F(s)\right]\]
从而，原函数
\[f(t) = \mathscr{L}^{-1}[F(s)] = \left[\frac{c_r}{(r-1)!}t^{r-1} + \frac{c_{r-1}}{(r-2)!}t^{r-2} + \cdots + c_2 t + c_1\right] \mathrm{e}^{s_1 t} + \sum_{i=r+1}^{n} c_i \mathrm{e}^{s_i t}\]
1-2 z 变 换
z 变换是从拉普拉斯变换直接引申出来的一种变换方法，它实际上是采样函数拉普拉斯变换的一种变形。因此，z 变换又称为采样拉普拉斯变换，是研究线性定常离散系统的重要数学工具。
1. z 变换定义
设连续函数 \(e(t)\) 是可拉普拉斯变换的，则
\[E(s) = \int_0^{\infty} e(t)\mathrm{e}^{-st}\,\mathrm{d}t\]
由于 \(t<0\)，有 \(e(t)=0\)，故上式又可表示为
\[E(s) = \int_{-\infty}^{\infty} e(t)\mathrm{e}^{-st}\,\mathrm{d}t\]
对于 \(e(t)\) 的采样信号
\[e^*(t) = \sum_{n=0}^{\infty} e(nT)\delta(t-nT)\]
其拉普拉斯变换为
\[E^*(s) = \int_{-\infty}^{\infty} e^*(t)\mathrm{e}^{-st}\,\mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{\infty} e(nT)\left[\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-nT)\mathrm{e}^{-st}\,\mathrm{d}t\right]\]
由广义脉冲函数的筛选性质
\[\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-nT)f(t)\,\mathrm{d}t = f(nT)\]
故有
\[\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-nT)\mathrm{e}^{-st}\,\mathrm{d}t = \mathrm{e}^{-snT}\]
于是采样拉普拉斯变换可表示为
\[E^*(s) = \sum_{n=0}^{\infty} e(nT)\mathrm{e}^{-snT}\]
令 \(z = \mathrm{e}^{sT}\)，其中 \(T\) 为采样周期，\(z\) 是复平面上定义的一个复变量，称为 z 变换算子。则采样信号 \(e^*(t)\) 的 z 变换定义为
\[E(z) = E^*(s)\Big|_{s=\frac{1}{T}\ln z} = \sum_{n=0}^{\infty} e(nT)z^{-n}\]
记作
\[E(z) = \mathscr{Z}[e^*(t)] = \mathscr{Z}[e(t)]\]
注意，定义式中后一记号是为了书写方便，并不意味是连续信号 \(e(t)\) 的 z 变换，而仍指采样信号 \(e^*(t)\) 的 z 变换。
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