第三章
线性系统的时域分析法
The Time Analysis of Linear Systems
第1部分
自动化系
===== 幻灯片 2 =====
本章主要介绍线性系统的时域分析法。主要
是一阶、二阶系统和高阶系统的时域分析，时域
性能指标的计算。
稳定性的概念，判断系统稳定的方法。 系统
的稳态误差的计算。
重点: 二阶系统的时域分析
稳定性概念、劳斯判据
稳态误差的计算
===== 幻灯片 3 =====
3.1 线性系统的时域模型分析
The Time Models of Linear System
3.2 一阶系统的时域分析
Performance of a first-Order System
3.3 二阶系统的时域分析
Performance of a Second-Order System
3.4 线性系统的稳定性分析
The Stability Analysis of Linear System
3.5 线性系统的准确性分析
Accuracy Analysis of Linear System
===== 幻灯片 4 =====
分析控制系统 分析方法包括
第一步 建立模型 时域分析法
频域分析法
第二步 分析控制性能 根轨迹法
===== 幻灯片 5 =====
3.1.1 时域响应
时域分析法关键:是找出微分方程的解c(t)
响应c(t)=暂态响应分量+稳态响应分量
d n c(t ) d n1c(t ) d m r (t ) d m 1r (t )
a0 n
a1 n 1
an c(t ) b0 m
b1 m 1
bm r (t )
dt dt dt dt
n阶线性微分方程 在考虑初始条件时，其解为
M (s) 1
c(t ) L1 [ R ( s )] L1{ [ Mc0 ( s ) Mr0 ( s )]}
D( s) D( s)
零状态响应 零输入响应
3.1 基本概念
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零状态响应：
在零初始条件下得到的响应，只决定于系统本身。
零输入响应：
完全由输入输出的初始条件决定的项。
响应：c(t)与系统结构参数有关、与外加输入信号、
与初始条件有关。
研究时取（1）零初始条件
（2）输入r(t)为几种典型输入信号
3.1 基本概念
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1.单位阶跃响应 0(t 0) : 开关的转换，负载
r(t)
1 1(t 0) : 突变，电源的通断电
r(t)=1(t) R(s)
s
1
h(t) L [(s) R(s)] L [(s) ]
1 1
s
2.单位脉冲响应
r (t ) (t ) R( s ) 1
g(t) L1[(s) R(s)] L1[(s)]
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3．单位斜坡响应 0(t 0)
1 r(t)
r (t ) t R(s) 2 t(t 0)
s
1 (s)
1
c(t) L [(s)R(s)] L [ 2 ]
s
1
h(t) L [(s) R(s)] L [(s) ]
1 1
s
g(t) L1[(s) R(s)] L1[(s)]
d d2
g(t) h(t) 2 [c(t)]
dt dt
函数是什么关系，其响应也是同样的关系
3.1 基本概念
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系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该
输入信号响应的导数；
系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该
输入信号响应的积分；
积分常数由零初始条件确定。
3.1 基本概念
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讨论稳定系统在典型输入信号下的性能指标
（1）动态性能
系统在阶跃函数作用下，动态过程随时间t的
变化状况的指标，为动态性能指标。
通常在阶跃函数作用下，计算系统的动态性能。
阶跃输入对系统是最严峻的工作状态。
3.1 基本概念
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3.1 基本概念
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1.上升时间(tr) Rise Time
响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。
上升时间越短，响应速度越快。对有振荡的系统，定义
为响应从零第一次上升到终值所需的时间。
2.峰值时间（tp） Peak Time
响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。
3.超调量（Maximum Overshoot）
C max C ( )
% 100 %
C ( )
3.1 基本概念
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响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，
所需的最短时间。用稳态值的百分数（通常取5%或2%）
| C (t ) C ( ) | C () 2% ~ 5%
5.振荡次数
在调整时间内，响应完成一个周期振荡的次数
3.1 基本概念
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通常用稳态误差来描述系统的稳态性能。稳态
误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量.
稳态误差 ：
如果在稳态时，系统的输出量与输入量不能完
全吻合，就认为系统有稳态误差。这个误差表示系
统的准确度。
3.1 基本概念
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R
+ +
c(t)为电路输出电压
r(t) i(t) c(t) r(t)为电路输入电压
C
T=RC 为时间常数
- -
R(s) I(s) C(s)
1 1
R CS
-
R(s) 1 C(s)
TS+1
3.2 一阶系统的时域分析
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dc(t)
RC c(t) r(t) T c(t) c(t) r(t)
dt
当初始条件为零时，其传递函数为
C(s) 1
Φ(s)
R(s) Ts 1
这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。
下面分别就不同的典型输入信号，分析
该系统的时域响应。
3.2 一阶系统的时域分析
===== 幻灯片 17 =====
1.单位阶跃响应 R( s )
s
Unit-Step Response of First-order System
1 1 1
C ( s ) ( s ) R( s )
s (Ts 1) s s 1 / T
t
T
h(t ) 1 e
R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。
传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。
这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统，
而且也适用于高阶线性定常系统。
仿真曲线: Matlab:m31
3.2 一阶系统的时域分析
===== 幻灯片 18 =====
C(t)
t
C(t)=1-e
T
1
0.632
0 T 2T 3T 4T 5T t
===== 幻灯片 19 =====
（1）当 t 时,h(t)1
当t T时，h(t) 0.632 63.2%
可据此由实验确定所测
当t 3T时，h(t) 95.2%
系统是否属于一阶系统
当t 4T时，h(t) 98.2%
（2）变化的快慢由T决定，也即闭环极点
dh (t ) 1
（3）响应曲线在t=0时的切线 dt T
惯性越小（T越小），其响应速度越快。
反之惯性越大（T越大），响应越慢。
3.2 一阶系统的时域分析
===== 幻灯片 20 =====
3.2 一阶系统的时域分析
===== 幻灯片 21 =====
Unit-ramp Response of first-order Systems
1
R(s) 2 r(t) t
s
1 1 1 T T
C(s) (s) R(s) 2 2
Ts 1 s s s s 1
t T
T
c(t ) t T Te
t
t 0, ess 0 稳态分量t T 暂态分量Te T
t
T
t , e(t ) r (t ) c(t ) t [t T Te ]T
一阶系统的单位斜坡响应存在稳态误差T
3.2 一阶系统的时域分析
===== 幻灯片 22 =====
希望 T 越小越好
当 t 0, e ss 0 之后增大 t 趋于常值T.
3.2 一阶系统的时域分析
===== 幻灯片 23 =====
Unit-impulse response of first-order systems
r (t ) (t ) R(s) 1
输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即
1
C(s)
TS 1
1 Tt
脉冲响应 g (t ) e t0 g (t ) L1[C ( s )]
T
t0 g(0) 1/T
tT g(T) 0.368/T 用于滤波
惯性越小，响应过程快速性越好
3.2 一阶系统的时域分析
===== 幻灯片 24 =====
3.2 一阶系统的时域分析
===== 幻灯片 25 =====
Unit-Acceleration response
1 2 1
r (t ) t R( s) 3
2 s
1 1 A B C D 1 T T2 T2
C(s) Φ(s)R(s) ( ) 3 3 2 3 2
Ts 1 s s s s s 1 s s s s 1
1 T T
1 2 t
c (t ) t Tt T 2 (1 e T ) (t 0)
2 1
t 稳态分量?
2
e(t ) r (t ) c(t ) Tt T (1 e T )
跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。
因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
3.2 一阶系统的时域分析
===== 幻灯片 26 =====
输入信 输入信号
号时域 复域 输出响应 传递函数
(t ) 1 tT
1 e (t 0)
T
1 t
1(t ) 1e T
t0 1
s
t Ts 1
1
t t T Te T
t0
s2
t
1 2 1 1 2
t t Tt T 2 (1 e T ) t 0
s3 2
2
注意响应之间的关系
3.2 一阶系统的时域分析
===== 幻灯片 27 =====
二阶系统：
凡以二阶微分方程作为运动方程的控制系统
模型
2
d c(t) dc(t)
T 2
Kc(t) Kr(t)
dt dt
K
Φ(s)
Ts 2 s K
3.3 二阶系统的时域分析
===== 幻灯片 28 =====
R(s) ωn2 C(s)
_ S(S+2ξωn) ξ:阻尼比，阻尼系数
ωn : 无阻尼振荡频率
二阶系统的标准形式
二阶系统主要特征量
2
C(s) ωn
Φ(s) 2
R(s) s 2ξωns ωn 2
特征方程 2
s2 2ξωns ωn 0
特征根 s1,2 ξωn ωn ξ2 1 例
3.3 二阶系统的时域分析
===== 幻灯片 29 =====
一. 二阶系统的五种阻尼情况
(当 n 为常数，根据ξ的不同分为五种情况)
1.过阻尼 (ξ 1 0, ξ 1)
2
ξ=0
左半平面ξ>0 jω 右半平面ξ<0
s1 n n 2 1 0<ξ<1 jωn
ξ=1
s2 n n 2 1 两个相等根 ωd=ωn
β
σ
两个不相等的实根 0
ξ=0
2.临界阻尼 ( 1) ξ>1
两个不等根
jωn
图3-9二阶系统极点分布
s1, 2 n n
3.3 二阶系统的时域分析
===== 幻灯片 30 =====
一.二阶系统的五种阻尼情况
3.欠阻尼状态 (0 1)
s1, 2 n j n 1 2 为一对共轭复根
4.无阻尼状态 ( 0)
s1, 2 j n 虚轴上，瞬态响应为等幅振荡
5.负阻尼 (ξ 0)
两个正实部的特征根，响应发散
3.3 二阶系统的时域分析
===== 幻灯片 31 =====
二. 几种阻尼状态下，系统的响应
1
1.过阻尼状态 R( s)
2
s
ωn A0 A1 A2
C(s) (s) R(S) 2
s(s 2 2ξωns ωn ) s s s1 s s2
s1 ξωn ωn ξ2 1
s 2 ξωn ωn ξ2 1 暂态分量
s1 0,s 2 0,h(t) 1 A 1e s t A 2e s t
1 2
|s1 ||s 2 |
当t 时，e s t比e s t 衰减快
1 2
3.3 二阶系统的时域分析
===== 幻灯片 32 =====
3.3 二阶系统的时域分析
===== 幻灯片 33 =====
[sin t ] [cos t ]
s2 2 s2 2
2.欠阻尼状态
2
ωn 1 s 2ξωn 1 s ξωn
C(s) 2 2 2 2
s(s 2ξωns ωn ) s s 2ξωns ωn s (s ξωn )2 ωd
2
ξωn ωd
2
(s ξωn ) ωd ωd
2
ξωn
h(t) 1 e ξωnt
cosωdt e ξωnt
sinωdt
ωd
ξωn
1 e [cosωdt
ξωnt
sinωdt]
ωd
e ξω tn d ωn 1 ξ2
1 sin( ωdt)
1 ξ 2
S ξω 1,2 n jω n 1 - ξ2
3.3 二阶系统的时域分析
===== 幻灯片 34 =====
d ωn 1 ξ2
cosβξ 阻尼角
其响应为随阻尼比增大，超调量变小的一组
衰减振荡曲线
j
ωn 衰减系数, d
cos
决定衰减的快慢 n
3.3 二阶系统的时域分析
===== 幻灯片 35 =====
3.3 二阶系统的时域分析
===== 幻灯片 36 =====
ξωn t ξωn t ξωn
由 h(t) 1 e cosωdt e sinωdt
ωd
当 0
h(t ) 1 cos n t
等幅振荡
ωn : 无阻尼振荡频率
3.3 二阶系统的时域分析
===== 幻灯片 37 =====
n2 1 1 n
C(s) 2
s(s n ) s s n (s n ) 2
n t n t n t
h(t ) 1 e nte 1 e (1 nt )
无超调单调上升过程，过渡过程时间长，
稳态值1
( 1) 上升时间最短 ( 1)
3.3 二阶系统的时域分析
===== 幻灯片 38 =====
3.3 二阶系统的时域分析
===== 幻灯片 39 =====
s1 , s2均大于零, n 0
响应 h(t)→∞是一个振荡发散过程，这种系统
是不稳定的。
振荡发散 单调发散
3.3 二阶系统的时域分析
===== 幻灯片 40 =====
（1） 1 所对应单调指数上升响应
（2）1 0 是一个振荡衰减过程
（3） 0.4 0.8 最佳阻尼状态
（超调量适度、调节时间较短）
当 ξ为 常数，ωn不同，系统响应速度不 同，
ωn 越大，响应速度越快
3.3 二阶系统的时域分析
===== 幻灯片 41 =====
及计算公式推导
(1)在单位阶跃信号作用下
工作状态
(2)在欠阻尼状态(在此状态响应速度最快）
3.3 二阶系统的时域分析
===== 幻灯片 42 =====
（1）上升时间 πθ πθ
tr
ωd ωn 1 ξ2
越小，上升时间越短
tr与n 成反比
（2）峰值时间
π π
tp
ωd ωn 1 ξ2
越小，峰值时间越短 tp与n 成反比
3.3 二阶系统的时域分析
===== 幻灯片 43 =====
（3）超调量
πξ
h(t p ) h( )
2
σ% 100% e 1 ξ 100%
h( )
超调量越大,阻尼比越小,反之亦然
且超调量只与阻尼比有关
===== 幻灯片 44 =====
（4）调整时间
3.5 3.5
Δ 0.05 tS tS
ξωn ξωn
4.5 4.5
Δ 0.02 tS tS
ξωn ξωn
t s与闭环极点的实部成反 比
（5）振荡次数
t t t ω 1 ζ2
N s s s n
振荡周期 2π 2π
ω
d
3.3 二阶系统的时域分析
===== 幻灯片 45 =====
3.3 二阶系统的时域分析
===== 幻灯片 46 =====
1. , n 是二阶系统的重要特征参数 ;
2. 1 系统响应单调指数上升，上升时间
定义为输出达到响应的10%~90%时所要的
时间，超调量为0；
1 ξ 0 振荡衰减的过程
0 等幅振荡
0 发散振荡
%与 有关
3.3 二阶系统的时域分析
===== 幻灯片 47 =====
3. , n 与系统结构参数有关
1 K
是一对矛盾 n
T
2 KT
4. t s、t r、t p 等量完全由根在复平面的极
点位置所决定
5. ξ 决定 σ%
6.在能工作的几种状态中，闭环极点必须
位于根平面的左边
3.3 二阶系统的时域分析
===== 幻灯片 48 =====
已知单位阶跃响应曲线，试确定k1、k2和a的值
r(t) k2 C(t)
k1
s(s+a)
-
h(t)
2.18
2.0
0 0.8
t
===== 幻灯片 49 =====
4s 2 1. 5 s 2 2
G1 ( s ) G2 ( s ) G3 ( s )
( s 1)( s 2) ( s 1)( s 2) ( s 1)( s 2)
1
R( s)
s
单位阶跃响应如下
t 2 t
c1 (t ) 1 2e 3e
t 2t
c2 (t ) 1 0.5e 0.5e
t 2 t
c3 (t ) 1 2e e
零点不影响自由运动的模态,但影响各模态
在响应中占的比重
===== 幻灯片 50 =====
b 0s m b1s m 1 b m
(s) mn
a s n a sn 1 a
0 1 n
m
Π(s z ) i
K1 i 1
n zi p j 只能是实数或共轭复数
Π(s p )
j 1
j
m
K (s zi ) 1
C(s) Φ(s) R(s) q r
i 1
2r q n
(s sj )(s 2ξkωks ωk ) s
2 2
j1 k 1
A 0 q Aj r B ks C k
2
s j1 s sj k 1 (s 2 2ξkωks ωk )
===== 幻灯片 51 =====
2
s j 1 s sj k 1 (s 2ξkωks ωk )
2
q r
sjt 2
h(t) A 0 A je B k e ξkωk t
cos(ωk 1 ξk )t
j1 k 1
r C k Bk k k 2
2
e ξkωk t
sin(ωk 1 ξk )t
k 1
k 1 k
高阶系统的时间响应，是由一阶和二阶系统的
时间响应函数项组成的。
主导极点概念
===== 幻灯片 52 =====
（1）增加闭环零点，改善快速性
（2）增加开环零点（比例－微分控制PD控制）
R(s) E(s) n2 C(s)
1
s(s+2n)
Tds
（3）引入输出量的速度负反馈：同样可以用
来改善系统的性能。
3.3 二阶系统的时域分析
===== 幻灯片 53 =====
3.3 二阶系统的时域分析
===== 幻灯片 54 =====
3.4 3.6
===== 幻灯片 55 =====